Уравнения максвелла.

Про классическую теорию электромагнитного взаимодействия и его переносчика - электро­магнитное поле - говорят иногда, что электродинамика Максвелла - это уравнения Максвелла.

В 60 - ых годах прошлого столетия Максвелл выполнил работу, подобную той, которую два века до него осуществил Ньютон. Если Ньютон довершил создание первой фунда­ментальной теории движения, то Максвелл завершил создание первой теории физического взаимо­действия (электромагнит­ного). Подобно классической механике Ньютона, в основу электродина­мики Максвелла также были положены некоторые предельно фундаментальные и элеме­нтарные соотношения, выраженные уравнениями, получившими имя Максвелла.

Эти уравнения имеют две формы - интегральную и дифференциальную своего выражения и фактически они выражают взаимосвязь характеристик электромаг­нитного поля с характеристи­ками источников (зарядов и токов), это поле по­рождающих. Эта связь не имеет такого простого выражения, как, например связь мер движения и взаимодействия, выражаемая основным законом динамики - вторым законом Ньютона. Поэтому уравнения Максвелла, выражающие основную идею электродинамики - учения об электромагнитном взаимодействии - появ­ляются при её изучении в вузе - лишь в конце курса.

Как и любые другие предельно общие теоретические положения, уравнения Максвелла в рамках самой электродинамики формально не выводятся. Они получаются как результат творче­ского обобщения разнообразного опытно-экспери­ментального материала, и их правильность подтверждается различными следс­твиями и практическими приложениями.

До Максвелла была известна полная система уравнений электро- и магнито­статики и одно уравнение электродинамики - уравнение, выражающее закон электромагнитной индукции. В целом же эта совокупность уравнений не явля­лась полной системой, однозначно задающей состояние элек­тромагнитного по­ля. Для получения такой системы Максвелл произвёл обобщение закона элект­ро­магнитной индукции  = - dФdt, записав его уравнение в интегральной форме:

= - = - (вектор зависит и от t, и от , а поток Ф = - только от t)

Полученное уравнение можно представлять себе как обобщённую на вихре­вое электрическое поле, теорему о циркуляции вектора в электростатике. Здесь Максвелл фак­тически выбросил проводящий контур, который был у Фарадея и который, по Максвеллу, являлся просто индикатором наличия (по индук­ционным токам) вихревого электрического поля в области вокруг изменяющегося магнитного поля.

В представленной Максвеллом форме закона электромагнитной индукции более выпукло просвечивает физическая суть явления, согласно которому переменное магнитное поле порождает в окружающем пространстве вихревое (с ненулевой циркуляцией) электрическое поле. Представив так явление электромагнитной индукции, Максвелл смог, опе­ревшись на соображения симметрии, пред­положить возможность существования в природе и обрат­ного электромагнитной индукции эффекта. Его можно назвать магнитоэле­ктрической индукцией, суть которой в том, что изменяющееся во времени элект­рическое поле, порождает в окружающем пространстве магнитное поле. Формально это записыва­ется так, что циркуляция напряженности магнитного поля равна быстроте изменения во времени потока индукции электрического поля. С учётом же то­го, что магнитное поле с самого начала (со статического состояния) являе­тся вихревым, то есть для него циркуляция всегда не равна нулю, обоб­щённая взаимосвязь магнитного и электрического полей примет вид:

=  + _см, где _см =

З

десь быстрота изменения потока индукции электрического поля формально эквивалентна некоторому току. Этот ток называют током смещения. Можно пре­дставить, что этот ток как бы замыкает протекание тока в цепи, например, с конденсаторами, через которые обычный ток прово­димости не протекает. Плотность тока смещения равна быстроте изменения электрического смещения (вектора ): = (/t). При разряде заряженного конденсатора по проводам протекает ток проводимости, и, кроме того, в пространстве между пластинами убывает (изменяется) электрическое поле.

Быстрота же изменения индукции электрического поля, то есть t и есть плотность тока смещения . Ток смещения замыкает ток проводимости в разрывах между проводниками. Он, как и ток проводимости, создаёт вокруг себя магнитное поле, а в диэлектрике (там его называют поляри­зационным то­ком) он выделяет тепло - так называемые диэлектрические потери.

Итак, теперь мы можем записать полную систему уравнений единого элек­тромагнитного поля - систему уравнений Максвелла:

= - =  +

= q_ = 0

В статическом состоянии электрическое (электростатическое) поле порождается только неподвижными (или равномерно движущимися) в данной ИСО электрическими зарядами и является потенциаль­ным (обладает нулевой циркуляцией). Магнитостатическое поле порождается только токами и всегда является непотенциальным (вихревым). Электростатическое поле, имея своими источниками заряды, имеет начало своих сило­вых линий на положительных зарядах и конец - на отрицательных зарядах (или в бесконечности). Магнитное же поле не имеет таких источников, поскольку магнитных монополей до сих пор не обнаружено, и потому его силовые линии даже в статическом состоянии являются замкнутыми, не имея ни начала, ни конца.

В динамическом же, нестационарном состоянии, когда источники полей и сами, порождаемые ими поля, становятся изменяющимися во времени, выявляется новая принципиа­льная особенность электриче­ского и магнитного нестационарных полей. Выясняется, что в этом состоянии они приобретают способность порождать друг друга, становиться источниками друг друга. В результате возни­кает новое нераз­рывно взаимосвязанное состояние единого электромагнитного поля. Первое урав­нение Максвелла, как уже говорилось, указывает на то, что изме­няющееся во времени магнитное поле, порождает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле. Второе же уравнение Максвелла говорит о том, что магнитное поле порождается не только токами, но и переменным во времени электрическим полем. В итоге мы можем заключить, что переменные (нестацио­нарные) электрическое и магнитное поля являются взаимными источниками друг друга, и их различие во многом относительно. В нестационарном состоя­нии они способны существовать совершенно само­стоятельно от источников (пе­ременных токов), их породивших, в виде единого неразрывного элек­тромагнитно­го поля.

Последние два уравнения Максвелла указывают на разный характер симметрии электриче­ского и магнитного стационарных полей.

Для решения основной задачи электродинамики, уравнения Максвелла, выра­жающие её основную идею (связь характеристик поля с характеристиками его источников), должны быть дополнены так называемыми материальными уравнения­ми, связывающими характеристики поля с характеристиками вещественной среды. Этими уравнениями являются следующие:

= _о; = _о и = , где  и  - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, а  - удельная электропроводность среды.

У

равнения Максвелла часто записывают в более компактной - дифференциа­льной форме, которая получается из интегральной формы путём предельного перехода контуров и поверхностей интегрирования к нулю: S  0 и L  0.

Введем векторный оператор, называемый "набла" и обозначаемый , как век­тор со следую­щими компонентами:  = (/х, /у, /z).

Для любого векторного поля () = (А_х, А_у, А_z) важными являются следующие совокупно­сти дифференциальных операций:

а) скалярная, называемая дивергенцией :  = di = А_х/х + А_у/у + А_z/z

б) векторная, называемая ротором :

 = rot = (А_у/_z - А_я/_у) + (А_z/х - А_х/_z) + (А_у/_Х - А_Х/_У)

В этих обозначениях уравнения Максвелла в дифференциальной форме, примут следующий вид:

rot = - /t ; rot = + /t; di = ; di = 0

или  = - /t ;  = + /t;  = ;  = 0

В уравнения Максвелла входят только свободные заряды  и токи проводи­мости . Связан­ные заряды и молекулярные токи входят в эти уравнения неявно - через характеристики среды – диэлектрическую и магнитную проницаемости  и .

Для перехода к дифференциальной форме записи теоремы о циркуляции воспользуемся известной из векторного анализа теоремой Стокса, связывающей циркуляцию вектора с поверхностным интегралом от ротора этого вектора:

= ,

где S – поверхность, ограниченная контуром L. Под ротором вектора понимают векторный дифференциальный оператор, задаваемый следующим образом:

rot = (Е_у/z - Е_z/у) + (Е_z/х - Е_х/z) + (Е_x/y - Е_y/x)

Физический смысл ротора вскрывают, устремляя поверхность S к нулю. В пределах достаточно малой поверх­ности ротор вектора можно считать постоянным и вынести за знак интеграла:

= rot = rotS.

Тогда, согласно теореме Стокса: rot = (1S) при S  0.

Отсюда ротор вектора можно определить как поверхност­ную плотность циркуляции этого вектора.

Так как в ЭСП циркуляция вектора равна нулю, то равен нулю и ротор вектора :

rot = 0.

Это уравнение и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора в ЭСП.

Для перехода к дифференциальной форме записи теоремы Остроградского – Гаусса воспользуемся известной из векторного анализа теоремой Гаусса, связывающей поток вектора по замкнутой поверхности с интегралом от дивер­генции этого вектора по объему, заключенному в этой поверхности:

=

Под дивергенцией вектора понимают скалярный дифференциальный оператор (совокупность производных), задаваемый следующим образом:

div = Е_х/х + Е_у/у + Е_z/z.

Физический смысл дивергенции вскрывают, устремляя объем V к нулю. В пределах достаточно малого объема дивергенцию вектора можно считать постоянной и вынести за знак интеграла:

= div= (1V) div . Тогда, согласно теореме Гаусса,

div = (1V) при V  0.

Отсюда дивергенцию вектора можно определить как объемную плотность потока этого вектора.

Соотнося теорему Остроградского – Гаусса = q_/_о = (1_о) и теорему Гаусса = , видим, что левые их части равны друг другу. Приравнивая их правые части, получаем:

div = _о.

Это уравнение и представляет собой дифференциальную форму теоремы Остроградского – Гаусса.

1 В обычных условиях воздух подвергается воздействию космического и радиоактивного излучений, и в нем всегда имеются свободные носители тока, которые в сильных электрических полях способны создать лавину носителей тока.

2 Напомним, что собственными (или свободными) называют колебания, происходящие в системе в отсутствие внешней периодической силы (воздействия) на систему.