3.5. Прямая на плоскости.
3.5.1. Различные формы задания прямой на плоскости.
Уравнение прямой на плоскости может быть задано:
1) с помощью углового коэффициента и «отрезка», отсекаемого от координатной оси ;
2) точкой, лежащей на прямой, и вектором, параллельным прямой (направляющим вектором);
3) двумя точками;
4) точкой прямой и вектором, перпендикулярным прямой (нормальным вектором);
5) в «отрезках»;
6) ортом нормального вектора и расстоянием от начала координат до прямой.
1) Как известно, - уравнение прямой, которая проходит через точку и составляет с положительным направлением оси угол, тангенс которого равен . Если указанная прямая проходит через точку , то и вычитая полученное тождество из уравнения прямой, имеем . Это уравнение прямой, проходящей через точку , с угловым коэффициентом .
Если прямые , параллельны, то их угловые коэффициенты совпадают.
Если прямые , перпендикулярны, то .
2) Пусть - направляющий вектор прямой, проходящей через точку . Для любой точки , лежащей на этой прямой, вектор ||, поэтому
Определение. Уравнение называется векторным уравнением прямой на плоскости (сравните с векторным уравнением прямой в пространстве).
- параметрические уравнения и
- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку , с направляющим вектором , векторное уравнение которой .
3) Если прямая задана двумя точками и этой прямой, то является направляющим вектором и - уравнение прямой, проходящей через точки и .
4) Пусть - нормальный вектор прямой, проходящей через точку .
Для любой точки , лежащей на этой прямой, вектор поэтому
Определение. Уравнение
называется векторным уравнением прямой, заданной точкой и нормальным вектором прямой (сравните с векторным уравнением плоскости в пространстве).
Уравнение в координатной форме имеет вид
.
Если , то имеем уравнение .
Определение. Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.
5) Определение. - уравнение прямой в «отрезках». Очевидно, прямая проходит через точки и .
6) Прямая может быть задана ортом нормального вектора , направленного из начала координат в сторону прямой, и расстоянием от начала координат до этой прямой.
Пусть - орт нормального вектора прямой, а - расстояние от начала координат до
Рис.3.26 прямой (рис.3.26).
Из начала координат опустим перпендикуляр на прямую. Точку пересечения перпендикуляра и прямой обозначим . Для любой точки прямой проекция вектора на направление вектора равна , т.е. , откуда и .
Определение. Уравнение называется нормированным уравнением прямой.
Общее уравнение прямой можно привести к нормированному виду .
Определение. Число называется нормирующим множителем.
Умножив общее уравнение прямой на нормирующий множитель, взятый со знаком плюс, если , и со знаком минус, если , получим нормированное уравнение прямой.
Замечание. Так как есть длина нормального вектора общего уравнения прямой, то нормирующий множитель равен , если , и , если .