Фильтрация смеси нефти и воды в пористой среде

1. Математическая модель фильтрации

Рассмотрим тонкий пористый пласт, содержащий нефть. Будем считать задачу двумерной, а нефтяное месторождение достаточно большим относительно расстояния между скважинами, которые расположены периодически. Через некоторые скважины (назовём их нагнетающими) накачивается вода. Через другие скважины выходит вытесненная нефть. Назовём эти скважины продуктивными.

Существуют различные схемы расстановки скважин. Типичные расстояния между скважинами – сотни и тысячи метров. Типичные времена добычи – месяцы и годы. В этих условиях вклад капиллярного давления в общее гидродинамическое давление пренебрежимо мал, что позволяет не учитывать капиллярные силы. Поэтому задача фильтрации нефтеводяной смеси в пористой среде описывается классической моделью Баклея-Леверетта, в рамках которой нефть и вода считаются несмешивающимися несжимаемыми жидкостями, а пористая среда считается недеформируемой.

Искомой является функция водонасыщенности , определяемая долей воды в единичном объёме жидкости (). Выпишем систему уравнений плановой фильтрации относительно водонасыщенности и давления в пласте:

, (1)

, (2)

- функция Баклея-Леверетта, (3)

- суммарная скорость фильтрации, м/с (4)

- скорость фильтрации нефти, (5)

- скорость фильтрации воды, (6)

. (7)

Здесь:

— водонасыщенность (объёмная доля воды в жидкой фазе);

— коэффициент абсолютной проницаемости;

— коэффициент относительной фазовой проницаемости воды;

— коэффициент относительной фазовой проницаемости нефти;

— динамические вязкости воды и нефти соответственно;

— пористость;

— объёмные стоки/источники жидкости; — стоки/источники водонасыщенности;

— давление в пласте;

— время;

Предполагается, что , где - связанная водонасыщенность.

Область для решения задачи — область симметрии, вырезанная из бесконечной периодической плоскости добычи. На границах области ставятся периодические граничные условия или условия непроницаемости. Отметим, что коэффициенты и сама функция Баклея-Леверетта зависят от водонасыщенности , что приводит к ряду нелинейных эффектов, образованию скачков водонасыщенности и дополнительно усложняет моделирование.

Приведем коэффициенты проницаемости нефти и воды, которые можно использовать для расчета:

, , (8)

где - критическая водонасыщенность, .

Графически, данные процессы можно изобразить следующим образом (рис. 1.1)

Рис.1.1. Графики относительной фазовой проницаемости нефти и воды

2. Модель переноса примеси при однокомпонентной фильтрации

Расширим представленную модель (1) – (7) и включим в неё пассивную примесь. Будем считать, что пассивная примесь попадает в пласт вместе с водой и не может перейти из воды в нефть. Известно, что перенос примеси при однокомпонентной фильтрации описывается следующим уравнением:

. (9)

Здесь

— концентрация.

— количество адсорбированной на поверхности пор примеси. При обратимой адсорбции можно, например, считать, что _, — площадь пор в единице объёма.

— поле скоростей фильтрации.

— диффузионный поток, вызванный конвективной диффузией.

— плотность мощности источников примеси.

Диффузионный поток имеет вид:

,

где - тензор конвективной диффузии. Есть феноменологические формулы, позволяющие получить его через скорость фильтрации и другие характеристики пористой среды. В данном случае применим формулу В. Н. Николаевского:

,

, ,

где и - некоторые положительные коэффициенты, соответствующие неоднородностям среды. Можно видеть, что в изотропной среде существует выделенное направление, соответствующее направлению вектора .