(рис.68)

Выделим в объеме покоящейся жидкости небольшой объем (рис. 68), пусть на грань этого объема действует со стороны окружающих слоев сила давления F.

Из опыта известно, что трение покоя в жидкостях отсутствует, т.е. должны от­сутствовать касательные усилия к выделен­ной грани.

Средним давлением называют величину:

где dF сила давления, действующая на площадку площади dS.

Истинным давлением или давлением в точке называют величину:

(276)

В покоящейся жидкости давление в точке не зависит от ориентировки площадки, на ко­торую оно действует, действительно, в покоящейся: жидкости выделим небольшой объем, фор­ма которого показана на рис. 69. На каждую грань объема действует силы давления, поскольку объем покоится, в каждом из координатных направлений сумма сил равна нулю:

т. к.

т.е.

(рис. 69)

Аналогично можно показать, что:

Следовательно:

15.2.Уравнение гидростатики эйлера

В покоящейся жидкости выделим малый ее объем dV=dxdydz в фор­ме прямоугольного параллелепипеда (рис. 70).

Известно давление в центре объема p и изменение давления на единицу длины в каждом из координат­ных направлений:

На каждую грань объема действуют силы давления, а на весь объем - объемные (массовые) силы, например, сила тяжести. Поскольку объем покоится, сумма проекции всех сил по каждому из координатных направлений равна нулю.

На заднюю грань действует сила давления:

а на переднюю:

Кроме того, в этом направлении действует составляющая мас­совой силы d, которую можно определить по второму закону Ньютона:

где:  - плотность среды, a_x- ускорение, которое способна сообщить массовая сила. Т. к. объем покоится,

т.е.

Поскольку :

(277)

Аналогично для других координатных направлений:

(278)

(279)

(277), (278), (279) и представляют собой систему уравне­ний гидростатики Эйлера.

15.3.Уравнение поверхности уровня

Поверхностью уровня называют такую поверхность, во всех точках которой давление одинаково (dP=0)

то, с учетом уравнение Эйлера:

для поверхности уровня:

(280)

В случае идеальной жидкости:

(281)

Пример, Пусть жидкость покоится в поле тяготения 3емли.

Плоскость 0XY горизонтальна, а ось z направлена вертикально вверх. В этом случае:

Тогда:

т.е. z=const, т.о. поверхности уровня (в частности, свободная поверхность) горизонтальны.

15.4.Закон паскаля

Жидкость покоится в поле тяготения Земли. В этом случае уравнения Эйлера имеют вид:

(282)

(283)

( 284)

С учетом (282) и (283) последнее уравнение (284) принимает вид:

(285)

откуда:

(286)

где удельный вес жидкости. Интегрируя (286), получаем

(287)

Постоянная интегрирования будет определена, если в точке с координатой z₀ известно давление p₀ . Тогда

Последнее выражение обычно записывают в виде:

(288)

т.е. для жидкости, покоящейся в поле тяготения Земли, сумма геометрической (Z) и пьезометрической (p/)) высот для всех точек объема жидкости одинакова. Это и есть закон Паскаля.

15.5.Сообщающиеся сосуды

15.5.1.Сообщающиеся сосуды заполнены однородной жидкостью

Свободные поверхности в левом и правом коленах находятся на уровнях Z₁ и Z₂, а давление на этих поверхностях равно атмосферному Р_a. Сравним свободные поверхности с общей для обоих сосудов частью, уровнем Z₀, на котором давление равно P₀, как показано на рис. 71.

Откуда:

(рис. 71)

Следовательно, свободные поверхности устанавливаются на одном уровне.

15.5.2.Сообщающиеся сосуды заполненные неоднородной жидкостью

(рис. 72)

Положим, что сосуды заполнены неоднородной жидкостью (несмешивающимися жидкостями с удельными весами ₁ и ₂. Через границу разде­ла жидкостей проводим уровень Z₀ =0, на котором давление равно Р₀ (рис. 72).

Сравним свободную поверхность в левом сосуде с границей раздела со стороны жидкости с удельным ве­сом ₁:

(289)

для правого сосуда аналогично:

(290)

Сравнивая записанные выражения, получим, что свободные поверхности в сосудах устанавливаются на уровнях, обратно пропорциональных удельным весам жидкостей:

(291)