§ 24 Побудова графіків функцій Загальна схема для побудови графіків функцій

1. Знайти область визначення функції;

2. З’ясувати, чи не є функція парною, непарною або періодичною;

3. Знайти точки перетину графіка з осями координат;

4. Дослідити функцію на неперервність;

5. Дослідити функцію на монотонність та екстремум;

6. Побудувати графік, використовуючи знайдені результати дослідження.

132. Дослідити функції і побудувати їхні графіки:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17); 18) ;

19) ; 20) .

§ 25 Найменше та найбільше значення функції

Для знаходження найменшого і найбільшого значень функції , неперервної на деякому відрізку , необхідно:

1. Знайти критичні точки, які належать цьому відрізку, і обчислити значення функції в цих точках;

2. Знайти значення функції на кінцях відрізку, тобто числа і ;

3. Порівняти знайдені значення; тоді найменше і найбільше з них є відповідно найменшим і найбільшим значенням функції в розглядуваному проміжку.

133. Знайти найбільше і найменше значення заданих функцій на заданих проміжках:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

134. На яку множину функція відображує відрізок ?

135. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .

При розв’язуванні деяких задач потрібно знаходити найбільше або найменше значення функції не на відрізку, а на інтервалі. В практичних задачах функція має на заданому інтервалі тільки одну стаціонарну точку: або точку максимуму, або точку мінімуму. У цих випадках у точці максимуму функція приймає найбільше значення, а в точках мінімуму – найменше значення на даному інтервалі.

Наприклад. Знайти найменше значення функції , де .

Розв’язання

Знайдемо похідну . Стаціонарні точки і . На інтервалі є тільки одна стаціонарна точка . При переході -

через цю точку похідна змінює знак з «-» на «+», і тому - точка мінімуму. Отже, найменше значення функції дорівнює .

136. Число 20 записати у вигляді суми двох невід’ємних доданків так, щоб добуток їхніх квадратів був найбільшим.

137. Число 36 записати у вигляді добутку двох додатних чисел, сума яких найменша.

138. Знайти додатне число, потроєний квадрат якого більше подвоєного куба цього числа на найбільше значення.

139. Знайти додатне число, потроєний квадратний корінь якого більше цього числа на найбільше значення.

140. Серед прямокутників, що мають периметр 20см, знайти той, діагональ якого найменша.

141. Із усіх прямокутників, площа яких дорівнює 9см, знайти прямокутник з найменшим периметром.

142. Парканом довжиною 80м треба огородити прямокутну ділянку найбільшої площі. Знайти розміри ділянки.

143. Із усіх рівнобедрених трикутників з периметром знайти трикутник з найбільшою площею.

144. У рівнобедрений трикутник, кут при основі якого дорівнює , вписано коло радіусу . Знайти площу трикутника. При якому значенні площа трикутника буде найменшою?

145. Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює , а гострий кут - . Діагональ трапеції перпендикулярна до бічної сторони. Знайти площу трапеції. При якому значенні площа трапеції буде найбільшою?

146. У півкруг радіуса вписати прямокутник найбільшої площі.