Контрольные вопросы

1. Каким законом описывается растяжение упругого маятника?

2. Напишите уравнения колебаний груза на горизонтальной и вертикальной пружинной подвеске.

3. Почему период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды?

4. Как будут происходить колебания, если грузик опустить в воду?

5. Чему равна средняя за период кинетическая энергия колеблющегося маятника и как она связана со средней за период потенциальной энергией?

Лабораторная работа № 4 «Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний»

1. Цель работы:

1. Определение моментов инерции тел путем измерения периода крутильных колебаний рамки с телом;

2. Изучение законов вращательного движения твёрдого тела;

3. Сравнение теоретических методов расчёта моментов инерции различных тел с экспериментальными данными.

2. Теоретическая часть.

Рассмотрим вращение системы материальных точек относительно неподвижной оси, оно описывается уравнением связывающим момент количества движения L=Σmr²ω и момент сил M=rF:

. (1)

Уравнение (1) можно преобразовать к следующему виду:

, (2)

где I – момент инерции системы материальных точек, ω – угловая скорость точки.

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется величина, равная произведению массы материальной точки m на квадрат ее расстояния R до этой оси:

. ₍₃₎

Для протяженных тел момент инерции определяется как сумма моментов инерции отдельных материальных точек (элементарных масс m), на которые можно мысленно разбить тело:

, ₍₄₎

где R_i– расстояние элементарной массы до заданной оси

Момент инерции тела, как видно из определения (4), есть величина аддитивная: момент инерции тела равен суме моментов инерции его частей; момент инерции системы тел равен сумме моментов инерции отдельных тел.

Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла:

, (5)

в котором R – расстояние от элемента массы dm до оси. Интегрирование должно производиться по всей массе тела

В простых случаях момент инерции можно определить расчетом, а в сложных его приходится находить экспериментальным путем.

В данной работе для определения моментов инерции используется крутильный маятник. Он представляет собой массивное тело, подвешенное на длинной упругой струне. При повороте маятника из положения равновесия на некоторый угол на него со стороны струны действует “упругий момент”, пропорциональный углу поворота

, ₍₆₎

где D – постоянная момента упругих сил. Величина D аналогична жесткости пружины К, а уравнение (6) – аналог закона Гука: F_x = - Kx. Если струна достаточно тонкая и длинная, то, как показывает опыт, зависимость (6) справедлива и для довольно больших углов, например, =. Кроме того, затухание крутильного маятника обычно мало. Все это делает его удобным прибором для измерения различных физических величин, в частности, моментов инерции тел.

В нашей экспериментальной установке тело маятника выполнено в виде металлической рамки, позволяющей закреплять в ней исследуемые тела (рис.1).

Рис. 1.

Движение маятника описывается уравнением моментов:

_{, (7)}

где M_тр – момент сил трения, определяющий затухание колебаний. Пренебрегая трением, с учетом (6), приходим к уравнению гармонического осциллятора:

,

где - циклическая частота собственных колебаний.

Для периода собственных колебаний имеем:

. ₍₈₎

Здесь и выше I - момент инерции маятника с исследуемым телом. На основании свойства аддитивности моментов инерции:

, ₍₇₎

где – момент инерции маятника (рамки), а – момент инерции исследуемого тела. Для определения момента инерции тело закрепляют в рамке и измеряют период колебаний Т рамки с телом. Затем измеряют период колебаний рамки без тела Т₀. Учитывая, что:

, ₍₈₎

период колебаний свободной рамки можно определить по формуле и легко получить выражение для момента инерции :

. ₍₉₎

При выполнении работы нам потребуется знать момент инерции цилиндра относительно его оси симметрии, прямоугольной пластинки относительно оси перпендикулярной плоскости пластинки и лежащей в плоскости пластинки симметрично относительно сторон пластинки, для этого воспользуемся формулой (3).

Рассчитаем момент инерции однородного цилиндра относительно геометрической оси. Разобьем цилиндр радиуса R₀ на концентрические слои толщиной dR (рис. 2).

Рис.2.

Пусть радиус какого-то слоя R; тогда масса частиц, заключенных в этом слое, равна:

, (10)

где h — высота цилиндра,  — плотность вещества цилиндра. Все частицы слоя будут находиться на расстоянии R от оси, следовательно, момент инерции этого слоя:

, (11)

Представим, что весь цилиндр разбит на такие слои; тогда момент инерции всего цилиндра будет равен сумме бесконечно малых моментов, или момент инерции всего цилиндра:

(12)

Учитывая, что масса цилиндра m= R²₀h, можно (12) записать так:

. (13)

Рассчитаем момент инерции прямоугольной пластинки относительно оси перпендикулярной плоскости пластинки и лежащей в плоскости пластинки симметрично относительно сторон пластинки.

Первоначально рассчитаем момент инерции тонкой однородной палочки длиной ℓ и массы m относительно оси проходящей через ее центр масс (рис. 3). Обозначим через х расстояние от середины палочки какой-то частицы длиной dx. Масса частицы равна dm=(m/ℓ)dx, и находится частица на расстоянии х от оси. Момент инерции ее равен:

,

а момент инерции всей палочки:

. (14)

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки 0 называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О: Ѳ = Σ mR². В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу Ѳ = ∫R²dm. Само собой понятно, что момент Ѳ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dт умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента Ѳ — до неподвижной точки.

Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой т и с координатами х, у, z относительно прямоугольной системы координат (рис. 3).

Рис.3.

Квадраты расстояний ее до координатных осей X, У, Z равны соответственно y² + z², z² + х², х² + y², а моменты инерции относительно тех же осей:

Сложив эти три равенства, получим:

Но х² + у² + z² = R², где R — расстояние точки т от начала координат O. Поэтому:

Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.

Если повернуть координатные оси X, Y, Z относительно тела, оставляя углы между ними прямыми, то моменты инерции I_x, I_y, I_z вообще говоря, изменятся. Однако их сумма останется той же самой, так как она равна 2Ѳ, а величина 0 не зависит от ориентации координатных осей. Таким образом, сумма моментов инерции 1_Х, 1_У, I, относительно любых трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через одну точку, зависит только от положения этой точки и нё меняется с изменением ориентации осей.

Рассмотрим случай плоского распределения масс. Допустим, что имеется пластинка произвольной формы с произвольным распределением вещества по ее объему. Если пластинка очень тонкая, то можно считать, что вещество распределено бесконечно тонким слоем по математической плоскости. Примем эту плоскость за координатную плоскость XY. Тогда z - координаты всех материальных точек будут равны нулю, а потому момент инерции Ѳ пластинки относительно начала координат O представится выражением Ѳ = ΣΔm(x² + у²), т. е. будет равен моменту инерции пластинки относительно оси Z. Таким образом, в случае плоского распределения масс , т. е.:

. (15)

Далее, очевидно, что величина Ѳ не меньше каждого из моментов инерции I_x, I_y, I_z, например, Ѳ≥ (знак равенства имеет место только для плоского распределения масс). Вычитая неравенство 2 Ѳ≥ из равенства (36.3), получим , или

. (16)

Отсюда следует, что из отрезков, длины которых численно равны I_x, I_y, I_z, всегда можно составить треугольник. Для плоского распределения масс (в плоскости XY) формула (16) переходит в формулу (15).

После этих предварительных замечаний можно перейти к вычислению момента инерции однородных прямоугольной пластинки и прямоугольного параллелепипеда. Пусть координатные оси X и Y проходят через центр пластинки С и параллельны ее сторонам (рис. 4).

Рис.4.

Представим себе, что все вещество пластинки смещено параллельно оси X и сконцентрировано на оси Y. При таком смещении все расстояния материальных точек до оси X не изменятся. Вместе с ними не изменится и момент инерции I_x относительно оси X. Но в результате смещения пластинка перейдет в бесконечно тонкий стержень длины ℓ, к которому применима формула (14). В результате получим:

(17)

Момент инерции 1_г пластинки относительно оси z, перпендикулярной к ее плоскости, найдется по формуле (15), которая дает:

(18)

Формула (18) годится также для вычисления моментов инерции прямоугольного параллелепипеда относительно его геометрических осей. В этом можно убедиться, если мысленно сжать параллелепипед вдоль одной из геометрических осей в прямоугольную пластинку — при таком сжатии момент инерции относительно этой оси не изменяется. Формула (18) дает момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно той его геометрической оси, которая проходит через центр основания с длинами сторон а и b. На рис. 4 эта ось перпендикулярна к плоскости рисунка.

Таким образом величины моментов инерции тел будем расcчитывать по следующим формулам:

I₁= m₁ R²/2 = hD⁴ρ_Al /32, (19)

_I2=m₂(а²+с²)/12=abc(а²+с²)ρ_ст/12, ₍₂₀₎

_I3=m₂(а²+b²)/12=abc(а²+b²)ρ_ст/12, ₍₂₁₎

где I₁ – момент инерции цилиндра относительно его оси симметрии, I₂ - момент инерции вертикально расположенной пластинки, I₃ - момент инерции горизонтально расположенной пластинки, m₁ – масса цилиндра, m₂ – масса прямоугольной пластинки, a, b, с – соответственно ширина длина и высота пластинки (см.рис.4), D – диаметр цилиндра, R – радиус цилиндра, ρ_Al – плотность материала цилиндра (алюминий), ρ_ст – плотность материала пластинки (сталь).