Непрерывная функция
Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения. График непрерывной функции может быть начерчен «не отрывая карандаш от бумаги».
ε-δ определение
Пусть 
и 
.
Функция f непрерывна
в точке 
,
если для любого 
существует δ
> 0 такое,
что
Функция f непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества.
В
этом случае говорят, что функция f класса C0 и
пишут: 
или,
подробнее, 
.
Если попытаться построить отрицание свойства непрерывности функции в точке (предельной для области определения), то получится следующее: Существует такая окрестность значения функции в рассматриваемой точке, что сколь близко мы не подходили бы к данной точке, всегда можно будет найти точку, значение в которой окажется за пределами заданной окрестности.
В этом случае говорят, что функция f терпит разрыв в точке a.
Возможны два варианта:
-
либо предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:
тогда
точка a называется точкой
устранимого разрыва функции f (в комплексном
анализе — устранимая
особая точка).
Положив 
можно
добиться непрерывности функции в этой
точке. Такое изменение значения функции
в точке, превращающее функцию в непрерывную
в этой точке, называется доопределением
по непрерывности.
-
либо предела функции в данной точке не существует и тогда. В этом случае для числовой функции, заданной на вещественной прямой (или её подмножестве), возможно существование односторонних пределов. Отсюда возникает классификация точек (неустранимого) разрыва:
-
если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;
-
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.
-