- •Введение
- •1. Определение производной. Дифференцирование функций
- •16. (Логарифмическая производная).
- •2. Геометрические приложения производной. Уравнения касательной и нормали
- •3. Дифференцирование неявных функций
- •4. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •6. Правило Лопиталя
- •7. Применение производной к исследованию функций и построению графиков
- •8. Нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
- •9. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин
- •Варианты заданий для ргр
- •Литература
- •Формат Объем Тираж Заказ
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»
Кафедра математики
“Приложения производной функции одной действительной переменной”
Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров очной формы обучения
Брянск 2011
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»
Кафедра математики
УТВЕРЖДЕНЫ
научно-методическим
советом академии
Протокол № ____
oт “____”___________2011 г.
“ Приложения производной функции одной действительной переменной ”
Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров очной формы обучения
Брянск 2011
Авторы:
Антоненкова Ольга Евгеньевна
Баранова Ирина Михайловна
Часова Наталья Александровна
Рецензент: профессор каф. физики, к. физ.-мат. наук Евтюхов К. Н.
Рассмотрены УМК МТФ
Протокол № от
Содержание
Введение 5
1. Определение производной. Дифференцирование функций 6
2. Геометрические приложения производной. Уравнения касательной и нормали 7
3. Дифференцирование неявных функций 9
4. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 11
5. Производные и дифференциалы высших порядков 13
6. Правило Лопиталя 14
7. Применение производной к исследованию функций и построению графиков 16
8. Нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке 27
9. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин 29
Варианты заданий для РГР 32
Литература 43
Введение
Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения
Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 – 1557 гг.) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
1. Определение производной. Дифференцирование функций
Производной функции у = f (x) называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю:
. (1)
Если этот предел конечный, то производная существует, а функция f (x) называется дифференцируемой в точке x. Производная обозначается или , или Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.
Правила дифференцирования функций. Пусть С R – постоянная, и = и (х), v = v(x) — функции, имеющие производные.
1. |
С ' =0. |
4. |
(Си)' =С ∙ u' . |
2. |
(u ± v)' = и' ± v'. |
5. |
. |
3. |
(u ∙ v)’ =u’ ∙ v + u ∙ v’. |
|
|
6. Правило дифференцирования сложной функции. Если функция y = f (u) дифференцируема по и, а функция и = φ (x) – по х, то сложная функция y = f (φ (x)) имеет производную y' =f ' (u) ∙ u' (x) .
Таблица производных элементарных функций
1. |
9. |
cos u u |
|
2. |
10. |
||
3. |
11. |
(ctg u) |
|
4. |
12. |
||
5. |
13. |
||
6. |
14. |
||
7. |
15. |
||
8. |
|
|
16. (Логарифмическая производная).
2. Геометрические приложения производной. Уравнения касательной и нормали
Геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к кривой y=f(x) в точке (х0; f(x0)), т.е. равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох (рис.1).
Если функция f дифференцируема в точке х0, то график этой функции имеет касательную, угловой коэффициент которой равен .
Рисунок 1 – Геометрическое приложение производной.
Тогда уравнение касательной имеет вид
. (2)
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0) и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику функции в точке M0(x0;y0). Тогда , и, значит, уравнение нормали имеет вид
. (3)
Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым в этой точке.
Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами и находится по формуле:
, (4)
причем знак “плюс” соответствует острому углу , а знак “минус”– тупому.
Если , то касательные – взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.
Пример 2.1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой x0=1.
Решение. Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0 имеет вид (2).
Вычислим значение функции в данной точке: .
Найдем производную функции и ее значение в данной точке:
, .
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
, – уравнение касательной.
Уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0 имеет вид (3).
Подставим найденные значения в это уравнение:
, – уравнение нормали.
Пример 2.2. Найти уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой . Сделать чертеж.
Решение. График функции – парабола. Так как при , , то вершиной параболы является точка (2; –1). По условию, касательная к параболе и данная прямая с уравнением параллельны; значит их угловые коэффициенты равны: k1 = y′1 , , . Следовательно, x0 = 3 – абсцисса точки касания параболы и прямой , – ее ордината. Таким образом, уравнение касательной имеет вид: (рис. 2).
Рисунок 2 – Иллюстрация к примеру 2.2.