- •Построение статистического распределения выборки
- •Вычисление точечных оценок математического ожидания и дисперсии
- •Построение гистограммы относительных частот
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины
- •Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКЕ
Студента ____________________________
(Фамилия И.О.)
Группа _________
Вариант № ________
Оценка
________________________
Преподаватель__________________
Оценка ________________________
Преподаватель__________________
План выполнения типового расчёта
-
Построение статистического распределения выборки.
-
Вычисление точечных оценок математического ожидания и дисперсии.
-
Построение гистограммы относительных частот.
-
Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины.
-
Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии.
-
Решение дополнительной задачи.
Перед началом выполнения типового расчёта по математической статистике повторите (или изучите) следующие темы.
-
Дискретные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
-
Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Нормальный закон распределения непрерывных случайных величин, правило «трех сигм». Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
-
Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма, эмпирическая функция распределения выборки.
-
Статистическое оценивание параметра распределения по выборке. Точечные оценки и их характеристики: несмещённость, эффективность, состоятельность.
-
Интервальные оценки. Доверительные интервалы. Интервальное оценивание параметров нормального распределения.
-
Статистические гипотезы, их виды. Понятие о проверке статистических гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода. Критерий согласия Пирсона.
-
Построение статистического распределения выборки
Данную выборку преобразуйте в вариационный (интервальный) ряд. Для этого:
1. Упорядочите выборку, т.е. запишите все значения случайной величины в возрастающем порядке. Если какое-либо значение повторяется, запишите его столько раз, сколько оно Вам встретилось.
2. Вычислите объем выборки ; минимальное значение ; максимальное значение .
3. Разбейте диапазон изменения случайной величины на интервалы. Число интервалов определяется по формуле с округлением до ближайшего целого: .
Ширину каждого интервала выберите с точностью выборки и округлите в сторону завышения .
Границы интервалов вычислите по формулам , .
; ; ;
;;;
;; .
4. Вычислите частоту каждого интервала – количество элементов , попавших в -й интервал. Если элемент совпадает с границей интервала, то он относится к интервалу с меньшим порядковым номером.
5 Вычислите относительные частоты интервалов по формулам .
Полученные данные занесите в четыре первые столбца таблицы 1.
-
Вычисление точечных оценок математического ожидания и дисперсии
Оценки математического ожидания и дисперсии вычисляются по формулам , , где – частота варианты , – объём выборки.
Если объем выборки велик, то вычисление точечных оценок математического ожидания и дисперсии по этим формулам громоздко. Для сокращения вычислений элементам выборки, попавшим в -й интервал, припишем значения, равные серединам интервалов: .
Внесите полученные значения в пятый столбец таблицы 1.
Далее варианты замените на условные варианты по формулам , где – так называемый ложный нуль (новое начало отсчета).
Ложный нуль находим по следующему правилу:
– если число интервалов нечетное, то = середине среднего интервала,
– если число интервалов четное, то = середине того интервала, у которого больше частота .
При этом варианте, которая принята в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю.
Значения внесите в таблицу 1.
Вычислите произведения , результаты занесите в таблицу 1.
Суммируя седьмой столбец таблицы 1, вычислите значение .
Вычислите оценку математического ожидания по формуле .
.
Вычислите произведения , результаты занесите в таблицу 1.
Суммируя восьмой столбец таблицы 1, вычислите значение .
Вычислите оценку дисперсии по формуле .
Оценка занижает дисперсию генеральной совокупности, поэтому введя поправочный коэффициент , получим несмещенную оценку дисперсии .
Вычислите оценку среднего квадратического отклонения
.
Таблица 1
№ |
Границы интервалов |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
h1= |
h2= |
|
Для сравнения вычислите по «правилу ».
Так как для случайной величины, имеющей нормальное распределение, почти все значения укладывается на симметричном относительно математического ожидания участке длиной , то с помощью «правила » можно ориентировочно определить оценку среднего квадратического отклонения нормально распределённой случайной величины. Берем максимальное практически возможное отклонение от среднего значения и делим его на три.
; .
.