- •Львівський національний університет імені Івана Франка Економічний факультет
- •Доповідь №2
- •«Шляхи зниження ентропії в задачах планування»
- •Різноманітність та ентропія.
- •Закон необхідного різноманіття станів
- •Закон необхідного різноманіття в задачі планування випуску продукції
- •Шляхи зниження ентропії в задачах планування.
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Львівський національний університет імені Івана Франка Економічний факультет
Кафедра
економічної кібернетики
Доповідь №2
з курсу "Моделювання системних характеристик в економіці" на тему:
«Шляхи зниження ентропії в задачах планування»
Виконали:
Дух Володимир Ігорович
Роман Володимир Ігорович
Львів - 2011
Зміст:
-
Різноманітність та ентропія
-
Закон необхідного різноманіття станів
-
Закон необхідного різноманіття в задачі планування випуску продукції
-
Шляхи зниження ентропії в задачах планування.
-
Різноманітність та ентропія.
Будь-якій системі властива деяка ступінь різноманітності, яка за У. Р. Ешбі визначається множиною можливостей її перебування в різних станах. Цю ступінь різноманіття можна охарактеризувати, задаючи таблицю ймовірностей перебування системи в кожному з можливих станів.
де - можливий стан системи, - ймовірність того, що система перебуває в цьому стані.
Стан системи можна представити одним чи декількома параметрами, не всі з яких мають кількісне вираження. Важливим моментом є те, що всі можливих станів різні і вони визначають ступінь різноманітності системи.
В якості міри різноманітності для множини можливих станів системи використовується поняття ентропії.
Ця величина представляє собою математичне сподівання логарифму ймовірності перебування системи в стані , і відповідає введеній Шенноном в теорії інформації «мірі невизначеності».
Таким чином, невизначеність виконання одного з можливих станів системи залежить як від числа можливих станів, так і від розподілу ймовірностей цих станів. Наприклад, якщо виконання будь-якого з варіантів рівноймовірно, то невизначеність вибору максимальна і визначається загальною кількістю варіантів.
Тобто змістом поняття ентропія є міра різноманіття можливих станів системи.
Розглядаючи план як систему, можна сказати, що йому також притаманна властивість ентропії, оскільки реалізація прийнятого рішення в силу суттєвої невизначеності майбутньої поведінки планованої системи не може бути однозначною.
Очевидно, що з точки зору прийнятого управлінського рішення можливе різноманіття необхідно обмежувати. Ступінь обмеження і визначає можливість прийняття визначеного, і зокрема оптимального, рішення при управлінні.
Під обмеженням різноманітності розуміється його зменшення в порівнянні з абстрактно можливим внаслідок яких-небудь умов, які накладаються на систему, чи внутрішніх її характеристик. В якості міри обмеження різноманіття може бути використана широко використовуване в теорії інформації поняття надлишковості:
де - ентропія системи в умовах заданих обмежень різноманіття;
- максимальна ентропія системи в умовах найбільшого для даної системи ступеня незалежності станів.
Найбільша степінь обмеження різноманіття відповідає реалізації єдиного можливого стану. При цьому , тобто множина не виявляє ніякого різноманіття, а надлишковість максимальна і рівна одиниці. Загалом ентропія будь-якої достовірної події (чи прийнятої як достовірної) рівна нулеві, оскільки
.
Навпаки, якщо є тільки одне обмеження загальної кількості різноманітних можливостей і всі можливі стани рівноймовірні, то ентропія досягає максимального значення при цих обмеженнях:
.
Розглянемо спочатку, з яких позицій доцільно використовувати поняття ентропії для розв’язування задач, пов’язаних з перспективним плануванням.
В цьому аспекті ентропія є властивістю,принципово властивим фізичній, а не економічній системі, і навіть глибока аналогія моделей не дозволяє вести про неї мову як про властивість, яка характеризує безпосередньо планову систему.
Продуктивним є інший аспект використання поняття ентропії в економіці – це використання шенноновського поняття ентропії безпосередньо як кількісної міри економічної інформації:
де - кількість інформації, яка міститься в одному повідомленні;
- ентропія системи до отримання повідомлення (апріорна ентропія);
- ентропія системи після отримання повідомлення (апостеріорна ентропія).
Використання такого підходу досить продуктивно при створенні автоматизованих систем управління виробництвом. Однак цей напрямок відноситься лише до питань збору, передачі та обробки інформації в економічній системі, а не до характеристик плану як складної системи, хоча формально поняття ентропії як кількісної міри інформації і як міри різноманіття станів системи ідентичні і визначаються відношенням
.
Якщо орієнтуватися на зміст поняття ентропія, як він визначається в теорії систем, то і тут можливі різні використання даного поняття. Зупинимося детальніше на їх змісті і можливостях використання для характеристик плану як складної системи.
Будемо використовувати дві модифікації поняття внутрішньоструктурної ентропії:
,-
обидва ці поняття відображають внутрішню структуру плану.
Ентропія станів визначається як міра різноманіття множини можливих варіантів плану . Інакше кажучи, якщо необхідно зробити вибір серед сукупності планів , яким відповідають ймовірності , то різноманіття цього вибору визначається відповідною ентропією:
.
В такому аспекті ентропія по своєму змісту відповідає аналогічному поняттю теорії систем.
Нехай задача планування формулюється як задача лінійного програмування:
Умови, які визначають множину можливих планів
Виділяють в усьому просторі станів системи випуклий багатогранник. Можна вважати, що всі стани системи в ньому рівноймовірні. В такому випадку:
де - кількість різноманітних станів системи.
Оскільки множина допустимих планів в даному випадку нескінченна, тоді умови:
слабо обмежують різноманітність .
Як відомо, розв’язок задач оптимізації виду:
знаходиться серед так званих опорних планів, які відповідають кутовим точкам багатогранника рішень. Тому можна ввести додаткову умову – «виділити опорні плани». Таке обмеження різноманіття перетворює безкінечну множину можливих станів в скінченне, яке залежить від рангів матриці обмежень і розширеної матриці. Міра ентропії в такому випадку у відповідності з
стає хоча б скінченним числом.
Наступна умова, яка приводить до зниження ентропії, може відображати той факт, що серед множини опорних планів потрібно розглядати лише ті, в базис яких входить обов’язково визначений перелік об’єктів (як, наприклад, в транспортній задачі з виключенням перевезень). Ентропія в такому випадку знижується навіть при рівноймовірній реалізації станів, оскільки потужність множини можливих станів нижча.
І, наостанок, суттєво обмежує різноманіття, зводячи його практично до нуля, додавання до обмежень
цільової функції в умовах єдиного розв’язку системи.
Зауваження. Ентропія станів завжди рівна нулю, якщо розглядається один стан системи, якою б вона складною не була.
Таким чином, ентропія плану як системи є її невід’ємною властивістю, важливою для системного аналізу плану.