Министерство образования и науки Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

Высшая математика

Методические указания к выполнению контрольных заданий

для студентов-заочников

специальности «Химическая технология»

полной и сокращенной формы обучения

Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института техники,

технологии и управления

Балаково 2011

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.

Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить соответствующие разделы курса по учебным пособиям в разделе «Литература» настоящих методических указаний. В начале каждой контрольной работы номера необходимых для этой работы пособий указываются в квадратных скобках. В методических указаниях даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров.

Задачи контрольной работы выбираются из таблицы вариантов, помещенной в конце методического пособия, согласно тому варианту, номер которого совпадает с последней цифрой учебного номера (шифра) студента. Контрольную работу следует выполнять в тетради (отдельной для каждой работы) чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента. В заголовке работы должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы. Заголовок работы надо поместить на обложке тетради; здесь же следует указать дату отсылки работы в институт и адрес студента. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными соответствующего номера. Решения задач излагать подробно и записывать аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи. После получения прорецензированной работы (как не зачтенной, так и зачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и недочеты.

При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента.

Контрольная работа № 1.

Аналитическая геометрия. Элементы векторной и

линейной алгебры.

Л и т е р а т у р а: [1], гл.III, IX, X; [2], §1-6, § 7-13; [4], гл. VII, § 1-5; [5], гл. I, II, III; [6], гл. I, II, III.

1.Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, называется матрицей.

Обозначают матрицу буквами А,В,С,…

Матрица размером m x n.

а₁₁,а_12,…,а_mn-элементы матрицы.

Коротко записывают так: А=(а_ij), где i-номер строки, j-номер столбца. Матрица размера n x n называется квадратной матрицей n-го порядка.

Элементы a₁₁,a₂₂,…,а_nn образуют главную диагональ матрицы, элементы а_m1,а_m-1,2…,а_1,n-побочную диагональ матрицы. Матрица А=(а11,а12,…,а1n) называется матрицей-строкой размером 1 х n.

Матрица - матрица-столбец размером m x 1.

Квадратная матрица - называется единичной матрицей.

Матрица А^т, которая получается из данной матрицы А заменой строк столбцами, называется транспонированной к А:

Произведением матрицы А=(а_ij), имеющей m строк и k столбцов, на матрцуВ=(в_ij), имеющую k строк и n столбцов, называется матрица С=АВ=(с_ij), имеющая m строк и n столбцов, каждый элемент с_ij которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В:

С_ij=а_i1в_1j+а_i2в_2j+…+а_ikа_kj

2.Определитель- это число, поставленное по определенным правилам в соответствие квадратной матрице.

Обозначается D=detА=

Определитель второго порядка:

Определитель третьего порядка:

(1)

Вычисляется по правилу треугольника. Схематически это выглядит так:

Минором М_ij какого-либо элемента определителя n-го порядка называется определитель n-1 порядка, получаемый из данного определителя вычеркиванием i строки и j столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Например: , - миноры элементов a₁₁ и a₃₁ определителя D.

Алгебраическим дополнением А_ij какого-либо элемента а_ij называется его минор М_ij, умноженный на (-1)^i+j,где i,j –номера строки и столбца элемента а_ij:

A_ij=(-1)^i+jM_{ij (2)}

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к матрице А, если выполняется равенство:

A^-1A=AA^-1=E

Если определитель D матрицы А не равен 0, то обратная матрица вычисляется по формуле:

, (3)

где - присоединенная матрица, составляется из алгебраических дополнений следующим образом:

(4)

1. Элементарными называются следующие преобразования матриц:

а) перестановка строк (столбцов),

б) умножение строк (столбцов) на число, отличное от 0,

в) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на число.

При помощи элементарных преобразований любую прямоугольную матрицу можно привести к ступенчатому виду. Схематично ступенчатая матрица изображена на рисунке:

Не заштрихованная часть матрицы занята нулями. В клетках, покрытых двойной штриховкой , стоят ненулевые элементы. Они называются угловыми элементами. Остальные элементы могут быть произвольными.

Число r угловых элементов ступенчатой матрицы В не зависит от способа приведения матрицы А к ступенчатому виду и называется рангом матрицы А. Обозначается r(А)=r(В)=r

3. Система 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными х₁,х₂,х₃ имеет вид:

(5)

где а_ij – коэффициенты системы, b_i- свободные члены.

Определитель 3-го порядка D, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы:

Решение системы методом Крамера: Если определитель системы D не равен нулю, то решение находится по формулам Крамера:

, (6)

где определители D₁, D₂, D₃ вычисляются следующим образом:

Систему (5) можно записать в матричной форме:

АХ=В , (7)

где

Решение системы (1) матричным способом: Если определитель системы D не равен 0, то решение системы имеет вид:

Х=А^-1В (8)

4 .Вектором называется отрезок с определенным на нем направлением.

Обозначается .

Координатами вектора в прямоугольной системе координат в пространстве называются его проекции на оси координат О_х, О_у, О_z.

Обозначается

Х= пр_Ох=х₂-х₁

У= пр_Оу=у₂-у₁ (9)

Z= пр_Оz=z₂-z_1,

где точка А(х₁,у_1,z₁)-начало вектора, В(х₂,у_2,z₂)- конец вектора.

Длина вектора вычисляется по формуле:

(10)

Вектор может быть разложен по базису , т.е. представлен в виде:

5.Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством:

= , (11)

где - угол между векторами и .

Выражение скалярного произведения двух векторов через координаты векторов:

=_, (12)

где ,

7. Векторным произведением двух векторов и называется вектор

1. длина его вычисляется по формуле

= ,

-угол между векторами и ,

2) вектор перпендикулярен векторам и ,

3) векторы _,, образуют правую тройку.

Выражение векторного произведения через координаты векторов и :

= , (13)

где Х₁,У₁,Z₁- координаты вектора , Х₂,У₂,Z₂- координаты вектора .

Геометрически длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на векторах и : S_пар-ма=

8. Смешанным произведением трех векторов _,, называется число, равное скалярному произведению вектора и векторного произведения х:

=(х)

Выражение смешанного произведения векторов через их координаты:

= ,

где Х₁,У₁,Z₁- координаты вектора , Х₂,У₂,Z₂- координаты вектора , Х₃,У₃,Z₃- координаты вектора .

Модуль смешанного произведения векторов _,, равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

9.Общее уравнение плоскости S имеет вид:

Ах+Ву+Сz+D=0 (14)

Где - нормальный вектор плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки М₀(х₀,у₀,z₀), М₁(х₁,у₁,z₁), М₂(х₂,у₂,z₂) имеет вид:

(15)

Угол между двумя плоскостями S₁ и S₂ определяется как угол между их нормальными векторами и , определяется из формулы:

(16)

10.Уранения прямой в пространстве, проходящей через две точки М₀(х₀,у₀,z₀), М₁(х₁,у₁,z₁) имеют вид:

(17)

Пример 1. По координатам вершин пирамиды А₁(2,-3,1), А₂(-1,-4,2), А₃(4,-1,2), А₄(3,-4,2) найти: 1.длины ребер А₁А₂ и А₁А₃; 2. угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃; 3. площадь грани А₁А₂А₃; 4. объем пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Р е ш е н и е.

1.Находим векторы

Длины этих векторов, т.е. длины ребер А₁А₂ и А₁А₃ таковы:

2. Скалярное произведение векторов находим по формуле (12):

Косинус угла между векторами находим по формуле:

3. Площадь грани А₁А₂А₃ равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах , т.е. половине длины векторного произведения этих векторов:

4) Объем V пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на векторах.

Координаты вектора

Пример 2. Найти угол между плоскостью Р₁, проходящей через точки А₁(2,-3,1),А₂(-1,-4,2),А₃(4,-1,2) и плоскостью Р₂, проходящей через точки А₁,А₂,А₄(3,-4,2).

Р е ш е н и е. Находим уравнения плоскостей Р₁ и Р₂ по формуле (16):

(x-2)(-3)-(y+3)(-5)+(z-1)(-4)=0

3x-5y+4z-25=0-уравнение плоскости Р₁, - нормальный вектор плоскости Р₁.

(x-2)0-(y+3)(-4)+(z-1)4=0 y+z+2=0- уравнение плоскости Р_2, - нормальный вектор плоскости Р₂.

Угол между плоскостями находим по формуле (17)

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А₁(2,-3,1) и А₂(-1,-4,2).

Р е ш е н и е. Используя формулу (12), получаем:

-уравнение искомой прямой.

Пример 4. С помощью формул Крамера найти решение системы:

Р е ш е н и е. Находим определитель системы:

Так как D0, то решение системы находим по формулам Крамера:

Находим D₁,D₂,D₃:

;

;

.

Получаем решение системы: \=

Пример 5. Дана система линейных уравнений

Найдем решение системы уравнений методом Гаусса. Разделим первое уравнение на 2. Затем умножим обе части этого уравнения на (-3) и прибавим их к соответствующим частям третьего уравнения, и, умножив на (-5), прибавим к соответствующим частям третьего уравнения. В результате получим систему:

Разделим обе части второго уравнения на 7/2, после этого умножим обе части полученного второго уравнения на (-15/2) и сложим их с соответствующими частями третьего уравнения, в результате получим систему:

Из последнего уравнения находим z=3, затем из второго найдем у=-2, из третьего найдем х=1.