- •Вопрос 1 : Определение определителей второго,третьего,n-го порядков:
- •Вопрос 2. Основные свойства определителей.
- •Вопрос 3.Минор,алгеброическое дополнение,теорема о разложении определителя.
- •Вопрос 4: Система линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Формулы Крамера.
- •Вопрос 5:Линейное пространство.Примеры.
- •Вопрос 6: Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
- •Вопрос 7 Матрицы. Основные типы матриц.
- •Вопрос 8 Действия над матрицами.
- •Вопрос 9 Свойства операций над матрицами .
- •Вопрос 10 Обратная матрица.Критерий существования обратной матрицы.
- •Вопрос 11 Решение системы из n линейных уравнений и c m неизвестными матричным методом.
- •Вопрос 12 . Ранг матрицы
- •Вопрос 13 метод Метод Гаусса — Жордана
- •Алгоритм
- •Вопрос 14 Критерий совместности линейных уравнений.
- •Вопрос 15 Скалярные и векторные величины. Линейные операции с векторами.
Вопрос 1 : Определение определителей второго,третьего,n-го порядков:
Определителем матрицы называется определитель , составленный из элементов квадратной матрицы(без перестановок).Любой квадратной матрице n-го порядка можно поставить в соответствие выражение , которое называется определителем данной матрицы
Определитель первого порядка равен тому единственному элементу,из которых состоит соответствующая матрица.
Определитель 2 порядка равен разности произведений элементов стоящих на главной диагонали и на побочной
Вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителя 2 порядка.
Определитель n-го порядка находится через определитель n-1 порядка или по теореме Лаплaса.
Теорема Лаплпса : определитель квадратной матрицы равен сумме произведений любой строки(столбца) на их алгебраическое дополнение
Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента умноженный на ( I номер строки , j номер столбца)- где расположен элемент.
Вопрос 2. Основные свойства определителей.
1.Определитель не изменяется при транспонировании.
2.Определитель меняет знак при перестановки 2 строк (столбцов).
3.Определитель равен 0,если все элементы строки(столбца) = 0
4.Определитель не изменяется , если к элементам какой – либо строки(столбца) матрицы прибавить элементы другой матрицы строки(столбца) предворительно умноженные на число отличное от 0.
Вопрос 3.Минор,алгеброическое дополнение,теорема о разложении определителя.
Минором некоторого элемента определителя называется определитель полученный из данного определителя вычитанием строки и столбца на пересечении которого этот элемент расположен.
Минором K-го порядка производной матрицы A называется определитель производной матрицы A,расположенный на пересечении каких – либо k строк и k столбцов.
Базисным минором называется любой из отличных от 0 миноров матрицы A,порядок которого = рангу матрицы.
Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента умноженный на ( i номер строки , j номер столбца)- где расположен элемент.
Теорема о разложении определителя: определитель равен сумме всех элементов производной его строки (или столбца) на их алгебраическое дополнение
Вопрос 4: Система линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Формулы Крамера.
Система линейных ур-й с n неизвестными называется система вида:
Теорема Крамера
Если определитель квадратной Слау не равен 0 то она имеет единственное решение, значение неизвестных в которых вычисляестя по формуле x1= x2= …
Вопрос 5:Линейное пространство.Примеры.
Рассмотрим множество R элементов x,y,z в котором для любых двух элементов x с R и y с R определена операцией сложения или x+y с R определена операцией умножения µx c R.
Если сложение элементов множества k и умножение на число удовлетворяет аксиомам, то пространство R называется линейным пространством(векторным) а его элементы векторами .
Аксиомы
-
, сложение коммутативно;
-
, сложение ассоциативно;
-
существует единственный нулевой элемент такой, что , ;
-
для каждого элемента существует единственный противоположный элемент такой, что ,
-
, умножение на число ассоциативно;
-
, ;
-
, умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
-
, умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.