Примеры решения типовых задач

1. Найдите интервалы возрастания и убывания функции

Решение. Функция определена в интервале Ее производная причем при и при Отсюда следует, что функция убывает в интервале и возрастает в интервале

2. Найдите экстремум функций:

а) б)

Решение. Согласно правилу исследования функции на экстремум:

1. находим производную: .

2. находим критические точки, т.е. внутренние точки области определения функции, в которых или не существует. Полагая, , получим, Производная не существует в точках и Однако критическими точками являются только точки и : они лежат внутри области определения функции , и в них эта функция непрерывна. Точки и не являются критическими, т.к. не лежат внутри области определения функции;

3. исследуем критические точки, определяя знак слева и справа от каждой критической точки. Для сокращения вычислений и для наглядности это исследование удобно записывать в виде следующей таблицы.

	-	0	+	+	0	-	-

Область определения критическими точками разбиваем на промежутки и заносим эти промежутки и критические точки в первую строку таблицы. Во второй строке помещены знаки производной на каждом из промежутков, которые определяем с помощью любой точки из исследуемого промежутка или применяя метод интервалов. В третьей строке – заключение о поведении функции.

а) Исследуемая функция имеет две точки экстремума:

точку минимума, где

точку максимума где

Исследование на экстремум можно было бы провести и с помощью второй производной.

б) Проведем исследование на экстремум с помощью второй производной. Для этого найдем вторую производную и определим ее знак в критических точках: отсюда следует, что и - критические точки.

Находим, , следовательно, - точка максимума, где

, следовательно, точка минимума, где

3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Решение.

• Найдем критические точки функции, лежащие внутри отрезка :

не существует при , но

Таким образом, данная функция имеет одну критическую точку , и эта точка лежит внутри отрезка .

• Вычислим значение функции в критической точке и на концах отрезка :

.

• Сравнивая все вычисленные значения, выбираем наибольшее и наименьшее:

.

4. Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь равнялась , а длина забора была наименьшей?

Решение. Для решения такой задачи следует, исходя из ее условия, выбрать переменную и выразить исследуемую величину через эту переменную, а затем найти искомое наименьшее значение полученной функции.

Пусть ширина участка - м, длина - м, длина забора м. Выберем за независимую переменную - ширину участка. Так как площадь участка , т.е. , то отсюда . Выразим , как функция от :

, где

канал

Найдем наименьшее значение на интервале . Найдем критические точки:

в точках и , но только и других критических точек в этом интервале нет, т.к. ее производная существует во всем этом интервале. Исследуем найденную критическую точку по знаку второй производной в этой точке:

отсюда следует, что критическая точка есть точка минимума.

Функция непрерывна в интервале . Поэтому по свойству непрерывных функций единственный минимум функции в интервале совпадает с ее наименьшим значением в этом интервале, т.е.

Следовательно, длина забора будет наименьшей при ширине участка и длине участка .

5. Найдите точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости функции

Решение.

1. Ищем точки , в которых или не существует, и которые лежат в области определения функции:

ни при каких ; не существует при

2. Исследуем точку на перегиб, определяя знак слева и справа от нее. Запишем это исследование в таблицу:

		0
	+	0	-
		2 перегиб

Таким образом, - абсцисса точки перегиба кривой: Эта кривая в интервале вогнута, а в интервале - выпукла.

6. Найдите асимптоты следующих функций:

а) б)

Решение.

а) Область определения данной функции: Отсюда следует, что - вертикальная асимптота, т.к.

и .

Наклонные (невертикальные) асимптоты определяем из условий:

где и

Таким образом, - наклонная асимптота.

б) , следовательно, - вертикальная асимптота, так как

,

Следовательно, - наклонная асимптота.

7. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Решение.

1. Найдем область определения: .

2. Исследуем функцию на четность: так как область определения функции не симметрична относительно начала координат, то данная функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Исследуем функцию на периодичность: ни для какого , кроме , следовательно, функция не является периодической.

4. Точки разрыва: .

Определим поведение функции вблизи точки разрыва слева и справа: и .

5. Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью : полагаем , тогда , имеем точку .

С осью : полагаем , тогда , т.е. , имеем точку .

6. Разбиваем область определения функции точкой пересечения с осью на промежутки. Определим интервалы знакопостоянства функции. Результаты занесем в таблицу:

		0
	-	0	+	+

7. Исследуем поведение функции на бесконечности:

.

8. Найдем асимптоты графика функции:

- вертикальная асимптота, так как

Наклонную асимптоту ищем в виде , где

.

Таким образом, наклонная асимптота превратилась в горизонтальную .

9. Исследуем функцию на возрастание – убывание и экстремумы.

Найдем первую производную:

Далее ищем критические точки: так как производная данной функции существует везде в области определения функции, то критические точки определяются только из условия - критическая точка.

Критическая точка разбивает область определения функции на промежутки:

Определяем знак производной на каждом из промежутков, результаты заносим в таблицу и делаем вывод о поведении функции и существовании экстремумов.

		-3
	-	0	+	-
		min

10. Исследуем функцию на выпуклость-вогнутость и перегибы. Найдем вторую производную:

Ищем точки, принадлежащие области определения, в которых или не существует. Так как вторая производная существует везде в области определения, то учитываем только условие

Эта точка разбивает область определения на промежутки:

Определяем знак второй производной на каждом промежутке, результаты заносим в таблицу. Делаем выводы о выпуклости-вогнутости функции в точках перегиба:

		-6
	-	0	+	+
		перегиб

11. С помощью проведенного исследования по полученным данным строим график данной функции . Сделайте рисунок самостоятельно в тетради.