7.8. Связь комплексной амплитуды изображения со зрачковой функцией
Чтобы
определить значение комплексной
амплитуды на выходе из оптической
системы, т. е на сфере сравнения у
выходного зрачка, нужно комплексную
амплитуду на входе системы умножить на
(для учета коэффициента пропускания
системы) и на
(для учета фазовых сдвигов, вызываемых
волновой аберрацией системы), т. е. просто
умножить на
из формулы (7.47). Это значит, что
комплексная амплитуда волны на выходе
из оптической системы пропорциональна
зрачковой функции
системы.
Напомним,
что нас прежде всего интересует
распределение комплексной амплитуды
U(x) в плоскости изображения.
Рассмотрим, как оно связано с распределением
комплексной амплитуды на выходе из
системы, пропорциональным зрачковой
функции. Для упрощения возьмем одномерный
случай и приведем функцию P (u,
) к P(u),
но результаты можно будет распространить
на случай
и
При изучении связи U(x) с P(u) учтем, что размеры зрачков оптической системы всегда ограничены и из-за дифракции изображение точки получается не точечным, а в виде дифракционного пятна рассеяния (см. рис. 7.8). Это происходит даже при отсутствии аберраций, т. е. если реальная волновая поверхность на выходе из системы имеет сферическую форму.
Рассмотрим оптическую систему, эквивалентную бесконечно тонкой линзе. Пусть в плоскости входного зрачка этой линзы расположена прямоугольная (щелевая) апертура, на которую падает параллельный поток (плоская волна) излучения (см. рис. 7.9).
Поскольку это одномерный случай, будем считать, что в направлении, перпендикулярном плоскости рис. 7.9, все параметры потока постоянны, а длина апертуры не ограничена. При обозначении координат в плоскости апертуры будем использовать u и , сохраняя традиционные обозначения x и y для плоскости объектов и x и y для плоскости изображений.
Параллельный пучок должен фокусироваться линзой в фокусе F плоскости изображения (x, y), находящейся на фокусном расстоянии f от апертуры (см. рис. 7.9). На апертуре происходит дифракция, поэтому свет попадает не только в фокус F, но и в произвольные точки M вблизи фокуса. Излучение от каждой точки плоской волны до точки M будет доходить с некоторой разностью хода и соответствующим сдвигом фаз, нежели до фокуса F.
Суммарная амплитуда потока, попадающего в точку M , может быть получена суммированием вкладов от элементов шириной du волнового фронта.
В
области апертуры можно представить
некую поверхность, расстояние от каждой
точки которой до точки M будет
одинаковым. Если расположить эту
поверхность до входного зрачка линзы,
то она будет плоскостью, расположенной
под углом к падающей плоской волне.
Возникающую вследствие этого оптическую
разность хода до точки M
от соответствующих точек падающей волны
и от аппроксимирующей плоскости обозначим
,
тогда фазовый сдвиг будет равен
.
Каждый элемент шириной
du вносит в точке M
вклад в комплексную амплитуду величиной
или
.
Как следует из рис. 7.9,
,
откуда
(7.48)
Комплексная амплитуда U(x) в точке изображения определяется следующим интегралом:
(7.49)
где P(u) — распределение амплитуды на входном зрачке.
Для придания формуле
(7.49) большей наглядности пронормируем
входящие в нее значения. Положим фокусное
расстояние равным единице длины (
),
а разность хода
будем измерять числом длин волн .
В результате получим
,
а формулу (7.49) приведем к виду
(7.50)
Подчеркнем, что формула (7.50) представляет собой фурье-преобразование зрачковой функции P(u).
Будем полагать оптическую систему линейной и не поглощающей излучения. С учетом этого можно с помощью принципа обратимости восстановить распределение амплитуды в апертуре, имея распределение амплитуды в изображении. С учетом (7.50) получим
(7.51)
где знак минус появился в результате изменения направления хода лучей.
Интегралы (7.50) и (7.51)
имеют вид пары фурье-преобразований.
При комплексной зрачковой функции, т.
е. при наличии волновой аберрации (u),
подставив (7.47) в (7.50), найдем, что (u)
дает дополнительный к величине
фазовый сдвиг
Для двумерного случая эти зависимости
можно записать как
(7.52)
(7.53)
Таким образом, распределение амплитуд в апертуре оптической системы является фурье-преобразованием распределения амплитуд в плоскости изображения, и наоборот.