Розв’язування

Зробимо схематичний рисунок (рис. 2.8).

Р исунок 2.8

1. Обчислимо потік векторного поля через верхню сторону трикутника , утвореного при перерізі площини з координатними площинами () безпосередньо.

Оскільки поверхня взаємно однозначно проектується на площину в область , то обчислення потоку векторного поля через дану поверхню зводиться до обчислення подвійного інтеграла по області за формулою :

П₁. (2.26)

За формулою (2.15) знайдемо одиничний вектор нормалі до поверхні . Оскільки вектор поставлений до зовнішньої сторони поверхні, то у формулі (2.15) беремо знак «плюс».

Обчислимо частинні похідні функції за кожною змінною:

, , .

Тоді

.

Обчислимо скалярний добуток векторів та , заданих своїми декартовими координатами:

,

тобто , при цьому . Тоді

Отже,

,

тобто П₁=7 (рис. 2.9).

Р исунок 2.9

2. Обчислимо потік векторного поля через повну поверхню піраміди, утвореної площиною і координатними площинами, безпосередньо:

П=П₁+П₂+П₃+П₄,

де П₁ – потік векторного поля через верхню сторону трикутника ,

П₂ – потік векторного поля через зовнішню сторону площини трикутника ,

П₃ – потік векторного поля через зовнішню сторону площини трикутника ,

П₄ – потік векторного поля через зовнішню сторону площини трикутника .

Обчислимо П₂ – потік векторного поля через зовнішню сторону площини трикутника . Рівняння площини : , одиничний вектор нормалі до цієї площини паралельний осі , але має напрям, протилежний напряму вектора . Тому за умовою колінеарності векторів . Тоді

П₂,

причому =-1,

Маємо (рис. 2.10):

Рисунок 2.10

. Тобто П_2.

Обчислимо П₃ – потік векторного поля через зовнішню сторону площини трикутника . Рівняння площини :, одиничний вектор нормалі до цієї площини паралельний осі , але має напрям, протилежний напряму вектора , тому Тоді

П₃,

причому =-1,

М аємо (рис. 2.11):

Рисунок 2.11

тобто П₃.

Обчислимо П₄ – потік векторного поля через зовнішню сторону площини трикутника . Рівняння цієї площини: , одиничний вектор нормалі до цієї площини паралельний осі , але має напрям, протилежний напряму вектора , тому

Оскільки , то

П₄.

Таким чином, П

3. Обчислимо потік векторного поля через повну поверхню піраміди в напрямі її зовнішньої нормалі за формулою Остроградського-Гаусса.

Обчислимо спочатку вираз , маємо:

, , , .

П=.

Приклад 2.5 Обчислити потік вектора через зовнішню сторону поверхні , визначеної нерівностями :

а) безпосередньо;

б) за формулою Остроградського-Гаусса.

Р озв’язування

а) Зобразимо вказану поверхню (рис. 2.12):

Рисунок 2.12

Згідно з рисунком (2.12) маємо:

П=П₁+П₂+П₃+П₄,

де П₁ – потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні : ;

П₂ – потік векторного поля через зовнішню сторону площини ;

П₃ – потік векторного поля через зовнішню сторону площини ;

П₄ – потік векторного поля через зовнішню сторону площини .

Обчислимо П₁ – потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні : :

П₁.

За формулою (2.15) знайдемо одиничний вектор нормалі . Обчислимо спочатку частинні похідні функції . Маємо:

, , ,

звідки ,

=.

Обчислимо скалярний добуток :

Обчислимо вираз :

звідки

Тоді

П₁.

Для обчислення отриманого подвійного інтеграла перейдемо до полярних координат за допомогою перетворення:

, .

Рівняння кола , що є лінією перетину параболоїда з площиною , в полярних координатах матиме вигляд:

, звідки або . Тоді , , .

Враховуючи введені заміни, маємо:

П₁=

, тобто П₁=.

Обчислимо П₂ – потік векторного поля через зовнішню сторону площини : за формулою:

П₂,

де одиничний вектор нормалі паралельний осі і колінеарний вектору , тому .

Обчислимо скалярний добуток :

.

Отже,

П₂.

Обчислимо П₃ – потік векторного поля через зовнішню сторону площини : за формулою:

П₃,

де – одиничний вектор нормалі до даної поверхні, який паралельний осі , але має напрям, протилежний напряму вектора . Тому , скалярний добуток векторів дорівнює:

, а .

Тоді маємо

П₃.

Обчислимо П₄ – потік векторного поля через зовнішню сторону площини : за формулою

П₄,

де – одиничний вектор нормалі до даної поверхні, який паралельний осі , але має напрям, протилежний напряму вектора , тобто .

Обчислимо скалярний добуток векторів :

, .

Тоді (рис. 2.13)

Рисунок 2.13

П₄

,

тобто П₄=.

Таким чином,

П=П₁+П₂+П₃+П₄.

б) Обчислимо потік вектора через зовнішню сторону поверхні , визначеної нерівностями в напрямі її зовнішньої нормалі за формулою Остроградського-Гаусса (2.17).

Обчислимо спочатку вираз , маємо:

, .

Таким чином, потік векторного поля обчислюється за формулою:

П,

де – область, обмежена параболоїдом , площиною і координатними площинами (рис. 2.12).

Для обчислення одержаного потрійного інтеграла перейдемо до циліндричних координат за допомогою перетворення:

Рівняння поверхні в циліндричних координатах матиме вигляд: . Тоді межі інтегрування будуть такі:

, а .

Отже,