Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии

Прибыль (млн. руб.) (y)	Затраты на 1 руб. произведенной продукции (коп.) (x1)	Стоимость основных фондов (млрд. руб.) (x2)		x1 x2	x1 y		x2 y
221	96	4,3	9216	412,8	21216	18,49	950,3
1070	77	5,9	5929	454,3	82390	34,81	6313,0
1001	77	5,9	5929	454,3	77070	34,81	5905,9
606	89	3,9	7921	347,1	53934	15,21	2363,4
779	82	4,3	6724	352,6	63878	18,49	3349,7
789	81	4,9	6561	396,9	63909	24,01	3866,1
4466	502	29,2	42280	2418	362404	145,82	22748,4

Система нормальных линейных уравнений имеет вид:

Таким образом:

.

4. Собственно-корреляционные параметрические методы изучения связи.

Измерение тесноты и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений. Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации результативного признака от одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множественных) факторных.

Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.

В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формулы расчета данного коэффициента:

(8.5)

Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

(8.6)

Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, выражаемая формулой:

(8.7)

где - коэффициент регрессии в уравнении связи;

- среднеквадратическое отклонение соответствующего, статистически существенного, факторного признака.

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1: . Знаки коэффициентов регрессии и корреляции совпадают. При этом интерпретацию выходных значений коэффициента корреляции можно представить в следующей таблице:

Таблица 8.5

Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение линейного коэффициента связи	Характер связи	Интерпретация связи
r = 0	отсутствует	-
0<r<1	прямая	с увеличением x увеличивается y
-1<r<0	обратная	с увеличением x уменьшается y и наоборот
r=1	функциональная	каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака

Пример: На основе выборочных данных о деловой активности однотипных коммерческих структур оценить тесноту связи между прибылью у (млн. руб.) и затратами на 1 руб. произведенной продукции x (коп.).

Таблица 8.6

Расчетная таблица для определения коэффициента корреляции

№ п/п	y	x	yx	y^2	x^2
1	221	96	21216	48841	9216
2	1070	77	82390	1144900	5929
3	1001	77	77077	1002000	5929
4	606	89	53934	367236	7921
5	779	82	63878	606841	6724
6	789	81	63909	622520	6561
Сумма	4466	502	362404	3792338	42280
Средняя	744,33	83,67	60400,67	632056,33	7046,67

1. Используя формулу (8.5) получаем:

2. По формуле (8.6) значение коэффициента корреляции составило:

Таким образом, результат по всем формулам одинаков и свидетельствует о сильной обратной зависимости между изучаемыми признаками.

В случае наличия линейной и нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по данным группировки, когда характеризует отклонения групповых средних результативного показателя от общей средней:

(8.8)

где - корреляционное отношение;

- общая дисперсия;

- средняя из частных (групповых) дисперсий;

- межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних).

Все эти дисперсии есть дисперсии результативного признака.

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

(8.9)

где - дисперсия выравненных значений результативного признака, то есть рассчитанных по уравнению регрессии;

- дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака.

Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1 и анализ степени тесноты связи полностью соответствует линейному коэффициенту корреляции (таблица 8.1).

Для измерения тесноты связи при множественной корреляционной зависимости, то есть при исследовании трех и более признаков одновременно, вычисляется множественный и частные коэффициенты корреляции.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.

Множественный коэффициент корреляции для двух факторных признаков вычисляется по формуле:

(8.10)

где - парные коэффициенты корреляции между признаками.

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: .

Приближение к единице свидетельствует о сильной зависимости между признаками.

На основе данных таблицы 8.4 рассчитаем коэффициент множественной корреляции и его ошибку:

; ; .

Множественный коэффициент корреляции составит:

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками и при фиксированном значении других факторных признаков, то есть когда влияние исключается, то есть оценивается связь между и в «чистом виде».

В случае зависимости от двух факторных признаков и коэффициенты частной корреляции имеют вид:

(8.11)

где - парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

В первом случае исключено влияние факторного признака , во втором - .

На основании приведенных выше данных о зависимости трех факторов деятельности предприятий вычислим частные коэффициенты корреляции (см. табл. 8.4):

; .