Теоретический материал

Колебания – это движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Например, качание маятника, переменный электрический ток.

Колебания называются свободными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Важным среди колебательных движений является гармоническое колебательное движение. При таком движении колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Характер такого движения лучше рассматривать с помощью следующей кинематической модели. Пусть точка М равномерно вращается по окружности радиуса А с постоянной угловой скоростью  (рис.6.1).

Рис.6.1

Тогда ее проекция N на ось X, проходящую через диаметр, будет совершать колебательное движение от положения N₁ до N₂ и обратно. Это колебание точки N и будет гармоническим колебанием. Чтобы его описать, нужно найти координату x точки N как функцию времени t. Пусть в начальный момент времени t=0 радиус ОМ составлял с осью X угол . Спустя время t этот угол получит приращение t и станет равным α = t+. Тогда координата x точки N в данный момент t определится как

.

Эта формула и описывает гармоническое колебание точки N.

Величина А дает максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия и называется амплитудой колебания. Величина  называется циклической частотой. Величину t+ называют фазой колебания, а ее значение при t=0, т.е. значение  – начальной фазой колебания. Графически можно изобразить колебательное движение, если откладывать по горизонтальной оси время t, а по вертикальной оси – смещение x (рис.6.2). На рисунке амплитуда А = 2, начальная фаза  = 0.

Рис.6.2

Промежуток времени, через который фаза получит приращение 2π, а колеблющаяся точка вернется в исходное положение, называют периодом колебаний:

.

Скорость колеблющейся точки:

.

Ускорение:

,

или

.

Последнее выражение есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Сила, действующая на материальную точку при гармоническом колебании, равна

.

Она пропорциональна отклонению x и имеет противоположное ему направление, т.е. направлена к положению равновесия.

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания, равна

.

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна

.

Полная энергия: .

Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается из-за потерь энергии колебательной системой (тепловые потери вследствие трения в механических колебаниях).

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид

,

где x –колеблющаяся величина,  - коэффициент затухания, ₀ –циклическая частота свободных незатухающих колебания той же колебательной системы (т.е. при =0).

Решение этого уравнения в случае малых затуханий (  ₀)

,

где - амплитуда затухающих колебаний, а А₀ – начальная амплитуда, - частота затухающих колебаний (рис.6.3). Промежуток времени =1/, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е – раз, называется временем релаксации.

Рис.6.3

Под периодом затухающих колебаний понимают промежуток времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся величины. Тогда

.

Если А(t) и А(t+Т) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то величину

называют логарифмическим декрементом затухания.

Также для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

.

Примеры решения задач

1.Вычислить период малых колебаний ареометра которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении (рис.6.4). Масса ареометра m = 50 г, радиус его трубки r = 3,2 мм, плотность жидкости  = 1,00 г/см³. Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.

Дано:

m = 50 г = 5·10^-2 кг

r = 3,2 мм = 3,2·10^-3 м

 = 1,00 г/см³ = 10³ кг/м³

______________________

Т-?

Рис.6.4

Решение

В покое действующие на ареометр силы уравновешивают друг друга, поэтому в проекции на ось X:

mg - F_арх = 0.

Т.к. F_арх = P_ж = V_жg = πr²hg, то

mg = πr²hg.

После толчка в вертикальном направлении:

ma =mg - F_арх

или

ma = mg - πr²(h+x)g.

Отсюда, с учетом того, что имеем

.

Поскольку дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид

,

видим что в нашем случае

.

Тогда

.

Подставив численные значения, получим Т = 2,5 с.

2.Тело массой m = 100 г, совершая затухающие колебания, за время  = 1 мин потеряло 40 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления среды r.

Дано:

m = 100 г = 0,1 кг

 = 1 мин = 60 c

E(t+) = 0,6E(t)

___________________

r-?

Решение

Сила трения при малых колебаниях , где r- коэффициент сопротивления среды, v- скорость тела. Следовательно , где  - коэффициент затухания. Полная энергия колебаний

,

- амплитуда затухающих колебаний. Тогда

.

С другой стороны, по условию задачи

.

Следовательно,

.

Выражаем отсюда искомую величину:

.

Подставив численные значения, имеем r = 8,5·10^-4 кг/c.