Режим бегущих волн

Напряжение и ток в линии в режиме бегущих волн получаются в том случае, если выполняется условие (4.30) или, что Z_н = R_н = W_л. Это условие позволяет установить ток I₂ и напряжение U₂ в конце линии, то есть на нагрузке

U₂ = I₂ R_н = I₂ W_л ; I₂ = U₂ / R_н = U₂ / W_л . (4.36)

Полученные соотношения (4.36) подставляют в выражения (4.26), которые обоснуют закон распределения тока и напряжения вдоль линии

U_х = U₂ cos кх +j I₂W_л sin кх = U₂ (cosкх + jsinкх);

I_х = I₂ cos кх + j(U₂ / W_л)sinкх = I₂(cosкх + jsinкх). (4.37)

На основании системы (4.37) сопротивление в любом сечении линии равно

Z_х = U_х / I_х = U₂ / I₂ = Z_вх = R_н = W_л . (4.38)

Анализ математической модели (выражение 4.38) позволяет утверждать, что:

• сопротивление в каждом сечении вдоль линии остается постоянным и равным сопротивлению нагрузки;

• сопротивление на входе линии также равно сопротивлению нагрузки и волновому сопротивлению.

Следовательно, сопротивление волновое есть сопротивление, которое линия оказывает бегущей волне тока в любом сечении. Если в системе (4.37) введено питание линии генератором синусоидальной ЭДС, тогда амплитуда тока и напряжения в нагрузке описывается выражениями

U₂ = U₀ sinωt = U₀ е ^{j ωt} ; I₂ = I₀ е ^{j ωt}. (4.39)

Известно, что сумма в скобках выражений (4.37) может быть представлена в виде сosкх + jsinкх = е ^{j кх}. (4.40)

Принимая во внимание выражения (4.39) и (4.40), мгновенные значения напряжения и тока в линии для любого сечения по оси Х примут вид

U_х = U₀ е ^{j (ωt + кх)} = U₀ sin(ωt + кх);

I_х = I₀ е ^{j (ωt + кх)} = I₀ sin(ωt +кх). (4.41)

Выражения системы (4.41) есть уравнения бегущих волн тока и напряжения, которые в линии синфазны и имеют следующие свойства:

• в каждом сечении линии напряжение и ток изменяются синусоидально во времени (см. множитель sin(ωt ));

• фаза волн напряжения и тока при распространении вдоль линии отстает

• от фазы в начале линии на угол βх, при этом

β = ω√L_пС_п,= 2π/λ =ω/ν;

ν = 1/ √L_пС_п и λ = ν/ƒ; (4.42)

• амплитуда колебаний в любом сечении линии без потерь одинакова, но в

реальной линии имеются потери и амплитуда колебаний уменьшается по экспоненте е ^{– αх}, причем коэффициент затухания выражается

α =( R_п / 2W_л) + (G_пW_л / 2). (4.43)

Таким образом, в линии с бегущими волнами тока и напряжения каждая точка (А) волны проходит последовательно все значения координат оси Х, распространяясь вдоль линии (рис.4.13),принимая последовательно значения А₁, А₂ и так далее.

А А₁ А₂

Х

Рис. 4.13

Режим стоячих волн

Режим стоячих волн тока и напряжения в идеальной линии возникает на основании следующих условий:

- если линия изолирована на конце;

- если линия короткозамкнута на конце;

- если линия замкнута на чисто реактивное сопротивление (емкость или индуктивность).

Целесообразно выполнить анализ первого указанного условия, когда линия изолирована на конце. Для этого в выражении (4.26) должно быть принято сопротивление нагрузки равно бесконечности (Z_н = ∞) и, следовательно, ток в нагрузке равен нулю (I₂ = 0). Выполнение данного условия при решении выражений (4.26) позволит установить закон распределения напряжения и тока в любом сечении линии, то есть по оси Х

U_х = U₂ cosкх;

I₂ = j(U₂ / W_л) sinкх. (4.44)

Система уравнений (4.44) описывает распределение напряжения и тока вдоль линии разомкнутой на конце. Из выражений видно, что напряжение опережает ток в линии по фазе на 90⁰. Действительно, на комплексной плоскости напряжение совпадает с действительной осью, а ток – с мнимой (рис.4.14).

+j

I_х

^{Действительная ось}

U_х

- j

Рис.4.14

Распределение сопротивления вдоль линии на основании выражений (4.44) будет описыватся выражением

Z_х = U_х / I_х = - j W_л ctgкх, (4.45)

причем полученное выражение подчиняется закону котангенса, то есть лежит в пределах от минус бесконечности до плюс бесконечности. Если разомкнутую на конце линию питает генератор синусоидального напряжения

U₂ = U₀ sinωt и I₂ = I₀ sinωt, (4.46)

то распределение напряжения и тока вдоль линии запишется в виде

U_х = U₀ (sinωt) cosкх;

I_х = j (U₀sinωt / W_л) sinкх. (4.47)

Причем, так как j = е ^{j π/2}, то U_0х = U₀ cosкх;

I_0х = [(U₀ / W_л) sinкх. (4.48)

Мгновенные значения напряжения и тока в изолированной на конце линии

описываются выражениями U_х = U_0х sinωt;

I_х = I_0х sin(ωt + π/2). (4.49)

Основные свойства стоячих волн можно обосновать следующим образом:

• в каждом сечении линии имеет место синусоидальное изменение напряжения и тока во времени (рис.4.15);

• амплитуды напряжения и тока приобретают значения пучности (максимума) и узла (минимума), причем при кх = 0, π, 2π, ... на основании выражений (4.48) напряжение имеет пучность, а ток – узел (рис.4.15);

• фаза напряжения во всех сечениях линии одинакова;

• в любой точке линии между напряжением и током существует сдвиг по фазе 90⁰ .

Анализ распределения напряжения, тока и сопротивления для каждого сечения линии вдоль двухпроводной линии изолированной на конце [8], представлен на рисунке 4.15. Из рисунка видно, что напряжение U_х на конце линии при х = 0 максимально. Действительно, из выражения (4.15) U_х = U₂ cosкх напряжение U_х = U₂ при кх = (2π/λ)х = 0 (либо π, 2π, 3π), а х = 0 (либо λ/2, λ, 3λ/2), и так далее, максимально. Это значит, что в точках, указанных для Х вдоль линии, напряжение U_х будет принимать максимальные значения. Однако при движении волны вдоль линии амплитуда изменяется от нуля до максимального значения. Изменение в точках максимума получило название пучности, а в точках, где U_х принимает значение нуля (при х = λ/4, 3λ/4, 5λ/4 и кх = π/2, 3π/2, 5π/2), принято называть узлом. Таким образом, на рисунке 4.15 показаны пучности и узлы как напряжения, так и тока, при этом ток I_х имеет следующее распределение вдоль линии:

• пучности при х =λ/4, 3λ/4, 5λ/4, и кх = π/2, 3π/2, 5π/2;

• узлов при х = 0, λ/2, λ, и кх = 0, π, 2π и так далее.

Распределение сопротивления вдоль линии подчиняется закону котангенса и при кх = 0 значение ctgкх = - ∞; при кх = π/2 - ctgкх = 0; при кх = π - ctgкх = + ∞. Этот закон распределения сопротивления по сечениям повторяется, что наглядно отображает рисунок 4.15. Учитывая, что линия была принята идеальной, то она имеет в качестве погонных параметров только индуктивность L и емкость С. Следовательно, вдоль линии будет распределяться реактивное сопротивление. В сечениях х =0, λ/2, λ сопротивление линии равно бесконечности, подобным сопротивлением обладает параллельный колебательный контур на резонансной частоте, это показано на рисунке 4.15.

π/2 π/2 π/2 π/2 π/2

U~

Z_н=∞

5λ/4 λ 3λ/4 λ/2 λ/4

U _х

х

I_х

х

Z_х

х

С С С

L С

L L

С L С L

С L

Рис. 4.15

В сечениях х = λ/4, 3λ/4, 5λ/4 сопротивление линии равно нулю, подобным сопротивлением обладает последовательный колебательный контур на резонансной частоте. Поэтому для указанных сечений на рисунке отображен последовательный контур. Между указанными точками линия обладает отрицательным сопротивлением, то есть имеет емкостной характер сопротивления. Либо обладает положительным сопротивлением, то есть имеет индуктивный характер сопротивления.

На основании рисунка 4.15 можно установить ряд закономерностей для линии, разомкнутой (изолированной) на конце:

- линия, длиной λ/2 (λ, 3λ/2, 2λ и т.д.) эквивалентна параллельному, резонансн-

ому контуру, при включении такой длины отрезка в линию она не вносит из менений во входное сопротивление линии;

- линия, длиной λ/4 (3λ/4, 5λ/4 и т.д.) эквивалентна последовательному, резо-

нансному контуру, при включении такого отреза в качестве нагрузки представляет генератору короткое замыкание, так как у зажимов генератора получается пучность тока и узел напряжения, что равнозначно короткому замыканию;

- линия эквивалентна резонансному колебательному контуру в том случае,

если на входе линии имеют место пучности и узлы напряжения и тока;

- с увеличением длины линии ее входное сопротивление изменяется от - ∞

до + ∞, затем вновь от - ∞ до + ∞, следовательно, подобрав определенный

отрезок линии, его можно использовать в качестве элемента для согласования сопротивлений генератора и нагрузки.

Для сравнения необходимо выполнить анализ реальной линии передачи, внеся поправки, учитывающие влияние потерь в идеальной линии. Это влияние сказывается в том, что во входном сопротивлении наряду с реактивной составляющей Х появляется активная составляющая R_х и следовательно, несколько изменяется характер зависимости Х_х от длины линии (рис.4.16).

_{Кривая R} R_х, Х_х

_{Кривая Х}

х

0

λ 3λ/4 λ/2 λ/4

Рис.4.16

Из рисунка видно, что активная составляющая всегда положительна, а реактивная повторяет кривую сопротивления идеальной линии, но не имеет разрыва при λ/2, λ и так далее.

Линия короткозамкнута на конце

Другим условием существования режима стоячих волн в идеальной двухпроводной линии является условие (4.32) равенства нулю нагрузочного сопротивления Z_н = 0 [8]. Данное условие при решении выражений (4.26) полагает, что для короткого замыкания на конце напряжение равно нулю (U₂ = 0), поэтому распределение напряжения и тока вдоль линии будет описываться выражениями

U_х = j I₂ W_л sinкх;

I_х = I₂ cosкх. (4.50)

Из выражений видно, что напряжение отстает по фазе от тока на 90⁰. При этом распределение сопротивления вдоль линии на основании выражений (4.50) определится

Z_х = U_х / I_х = j W_л tgкх. (4.51)

На основании выражения (4.51) распределение сопротивления вдоль линии подчиняется закону тангенса. Для наглядности распределение напряжения, тока и сопротивления вдоль линии приведено на рисунке 4.17.

λ 3λ/4 λ/2 λ/4

U~ Z=0

U_х

х

I_х

х

Z_х

х

С С

С С

L С L L L С L L

Рис. 4.17

Сравнивая рисунки 4.15 и 4.17 нетрудно видеть, что линия разомкнутая на конце и линия короткозамкнутая на конце имеют один и тот же физический процесс распространения электромагнитных волн в виде стоячих волн тока и напряжения. Отличие состоит в сдвиге волн на π/2 (или λ/4) у физического процесса распределения относительно сечения для нагрузки.

Режим смешанных волн

Режим смешанных (комбинированных, гибридных) волн получают напряжение и ток в линии, замкнутой на произвольную нагрузку

Z_н = R_н + jX_н. (4.52)

Пусть существует идеальная линия, тогда режим смешанных волн в ней может быть получен при замыкании линии на чисто активную нагрузку, не равную волновому, то есть Z_н = R_н ≠ W_л. (4.53)

В целях понимания физического процесса распространения волн в линиях А.А.Пистолькорс ввел, так называемый, коэффициент бегущей волны К_БВ, а В.В.Татаринов - коэффициент стоячей волны К_СВ. Коэффициент бегущей волны К_БВ есть отношение R_н к W_л (или W_л к R_н ), которое должно быть меньше или равно единице К_БВ = R_н(илиW_л) /W_л(илиR_н) ≤ 1. (4.54)

Коэффициент стоячей волны К_СВ есть отношение W_л к R_н или R_н к W_л, которое больше или равно единице.

К_СВ = W_л (или R_н) / R_н(или W_л) (4.55)

На основании выражений (4.54) и (4.55) следует, что коэффициенты взаимосвязаны отношением К_БВ = 1 / К_СВ. (4.56)

Например,

• если W_л > R_н, то К_БВ = R_н / W_л, а К_СВ = W_л / R_н ;

• если R_н > W_л, то К_БВ = W_л / R_н, а К_СВ = R_н / W_л .

Коэффициентом отражения р называется отношение напряжения (тока) отраженной волны к напряжению (току) падающей волны

р = U_{х отр} / U_{х пад} = |р| е ^jφ. (4.57)

Коэффициент отражения может быть комплексной величиной, причем φ есть угол сдвига фаз между напряжениями (токами) отраженной и падающей волн, а | р | есть модуль коэффициента отражения. К_БВ и К_СВ могут быть выражены через коэффициент отражения в следующем виде:

К_БВ = (1-р) / (1+р); К_СВ = (1+р) / (1-р). (4.58)

Вводя в уравнения распределения U_х и I_х для идеальной линии К_БВ можно получить U_х = U₂ К_БВ(cosкх + j sinкх) + (1 - К_БВ)U₂ cosкх;

I_х = (U₂/ W_л)К_БВ(cosкх + jsinкх) + j(1- К_БВ) (U₂/W_л)sinкх. (4.59)

Первые слагаемые представляют собой уравнение бегущих волн, а вторые стоячих. Следовательно, в режиме смешанных волн одновременно существуют бегущие и стоячие волны. Причем, стоячие волны будут выражены тем больше, чем больше отличается сопротивление нагрузки от волнового сопротивления линии.