Критерий согласия Колмогорова

Проверку гипотезы о законе распределения можно проводить с помощью критерия Колмогорова. Это альтернатива критерию хи-квадрат. Применение этого критерия не требует расчета ожидаемых частот и может использоваться для малых выборок. Данные должны представлять случайную выборку, переменные должны быть измерены по крайней мере на порядковой шкале; должна быть сформулирована гипотеза о распределении генеральной совокупности. Нулевая гипотеза состоит в том, что выборка взята из специфицированной генеральной совокупности. Альтернативная гипотеза заключается в утверждении обратного.

Критерий Колмогорова применяется для проверки гипотезы о непрерывной функции распределения случайной величины X.

Пусть заранее известно, что функция распределения исследуемой случайной величины X – непрерывная. Выдвинем гипотезу

,

то есть предложение, что функцией распределения случайной величины является выбранная нами из каких-то соображений непрерывная функция .

Требуется принять или отклонить эту гипотезу по реализации случайной выборкинезависимых измерений X.

Для решения этой задачи введем статистику критерия проверки гипотезы в виде случайной величины:

,

где - статистическая функция распределения.

Реализация t статистики , соответствующая выборке , может быть найдена по формуле

(27.1)

где - реализация статистической функции распределения .

Доказано, что (H – истинна) .

Здесь D – случайная величина, распределенная по известному закону Колмогорова. Для этой величины, используя таблицы или формулы распределения Колмогорова, можно найти из условия:

,

где - вероятность практически невозможного события, и, следовательно, событие - практически невозможное.

Из предыдущих соотношений следует: [H - истинна] , то есть: [H - истинна] [ - практически невозможно].

Теперь с точностью до принципа практической уверенности можно утверждать, что если гипотеза Н истинна, то реализации t статистики Т не могут превосходить границы . Далее по закону контрапозиции математической логики находим, что с той же точностью из неравенства следует ложность гипотезы Н. Итак, с точностью до принципа практической уверенности имеем:

(Н – истинна) ;

(Н – ложна).

Из этих соотношений следует, что неравенство необходимо для принятия, а неравенство достаточно для отклонения гипотезы Н (с точностью до принципа практической уверенности).

Руководствуясь этими соображениями, принимают следующее правило решения поставленной задачи:

(Н – принять);

(27.2)

(Н – отклонить);

Правило (27.2) называют критерием согласия Колмогорова проверки гипотезы о непрерывной функции распределения случайной величины. Алгоритм его, очевидно, состоит в следующем:

1. Провести независимые n-кратные измерения случайной величины X с непрерывной функцией распределения и получить выборку .

2. Исключить из выборки грубые ошибки.

3. Построить реализацию статистической функции распределения.

4. Выдвинуть гипотезу о функции распределения случайной величины X.

5. Вычислить параметр t по формуле 27.1.

6. Задать вероятность практически невозможного события и из таблиц распределения Колмогорова найти параметр .

7. Принять или отклонить гипотезу .

Доказано, что критерий А. Н. Колмогорова состоятельный и в общем случае смещенный. Он более чувствителен к различию гипотез, поэтому при прочих равных условиях может применяться для меньших объемов выборки. Поскольку результат проверки признака критерия t зависит от наибольших различий и , то нет необходимости построения и на всем диапазоне изменения x; достаточно ограничиться областью наибольших различий и . Недостатком критерия является то, что точность его выводов нарушается, если в формировании гипотезы об используются характеристики эмпирических распределений, так как в этом случае статистика Т зависит от .

Следует отметить значительную трудоемкость построения статистики А. Н. Колмогорова, однако, использование современных компьютерных средств автоматизированных вычислений преодолевает этот недостаток. К достоинствам метода следует отнести тот факт, что при построении статистики А. Н. Колмогорова используется вся информация, содержащаяся в выборке _.