1.2. Операции над событиями

Пусть задано произвольное, но фиксированное пространство элементарных исходов, которое обозначают через Ω, такой же символ используют для достоверного события. Будем использовать заглавные латинские буквы А, В, ... для обозначения событий. Тот факт, что элементарный исход (точка) X содержится в событии А, обозначим

X А.

Невозможное событие будем обозначать символом Ø (пустое множество).

Два события тождественны друг другу (А = В) тогда и только тогда, когда эти события состоят из одних и тех же точек (элементарных исходов).

Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, называют произведением (или пересечением) событий А и В и обозначают А·В.

Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В, называют суммой (или объединением) событий А и В и обозначают А + В.

Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, называют разностью событий А и В и обозначают

А – В.

Событие называют противоположным событию А, если событие А не происходит (т.е. содержит все точки, не содержащиеся в А). Для противоположных событий одновременно выполняются два соотношения: Ø.

Проиллюстрируем введенные понятия при помощи диаграмм Венна.

Пусть опыт состоит в том, что внутри квадрата, изображенного на рис. 1.1, выбирается наудачу точка. Обозначим через А событие "выбранная точка лежит внутри левой окружности" и через событие В "выбранная точка лежит внутри правой окружности".

События А, , А + В, А • В, А - В, В - А состоят в попадании выбранной точки внутрь областей, заштрихованных на соответствующих фигурах (рис. 1.2).

Примеры событий и действий над ними.

Пример 1.1. Бросание монеты. Пусть монета подбрасывается три раза. Обозначим Г выпадание при одном бросании герба, Р - решетки. Пространство элементарных исходов состоит из 8 точек: ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, ГРР, РГР, РРГ, РРР. Событие А "выпало не менее двух гербов" совпадает с множеством первых четырех точек, т.е. А = {ГГГ,ГГР,ГРГ,РГГ}. Событие В "выпала ровно одна решетка" означает или ГГР, или ГРГ, или РГГ, т.е. В = {ГГР,ГРГ,РГГ}. В этом случае А + В = А; А·В =В; А - В = {ГГГ}.

Пример 1.2. Возраст супругов. Страховые компании интересуются распределением возрастов супругов. Пусть событие А состоит в том, что "мужу свыше 40 лет", событие В - "муж старше жены", событие С -"жене свыше 40 лет". Тогда событие А • В означает, что мужу свыше 40 лет и что он старше своей жены. Событие А - В означает, что мужу свыше 40 лет, но он не старше своей жены. Событие А·С означает, что каждому из супругов свыше 40 лет. Событие А + С означает, что хотя бы одному из них свыше 40 лет.

Два события называют несовместными, если их одновременное появление невозможно, т.е. А • В = Ø. Например, события А и несовместны.

События В₁, В₂, ..., В_n образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них непременно должно произойти в результате опыта, т.е. В₁+В₂+...+В_n= Ω.

Примеры событий, образующих полную группу:

1) выпадение герба и выпадение решетки при бросании монеты;

2) попадание и промах при одном выстреле;

3) появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости;

4) появление белого шара и появление черного шара при вынимании наудачу одного шара из урны, содержащей 3 белых и 4 черных шара;

5) ни одной опечатки, одна, две, три и более трех опечаток при проверке страницы напечатанного текста;

6) ни одного отказа, один, два и более двух отказов технического устройства за 24 часа работы.