1. Дифференциальные уравнения. Геометрическая интерпретация решения.

Уравнения, содержащие некоторую функцию, ее производные различных порядков и независимые переменные называются дифференциальными.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если неизвестные функции являются функцией одного переменного.

(1)

Решением уравнения (1) называется функция которая определена на некотором интервале. Соотношение (1) можно рассматривать как функцию, определяющую неявную производнуюn-ного порядка:

(2)

Если , то мы получаем

(3)

Решением уравнения (3) является . Можно изобразить на плоскости с координатными осями в виде некоторого семейства кривых.

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой областиG. Тогда на плоскости решениюбудет соответствовать непрерывная кривая, которая называетсяинтегральной кривой.

В каждой точке области Gзадает некоторое направление. Функцияопределяетполе направлений. В этом случае задача решения уравнения (3) можно интерпретировать следующим образом:

Требуется найти все кривые, касательные к которым совпадают с направлением поля.

Функция будет являться общим решением уравнения (3).

2. Нормальная система дифференциальных уравнений.

Предположим, что уравнение (1) можно разрешить относительно старшей производной

(4)

Уравнение (4) называется каноническим дифференциальным уравнением. Введем новые переменные:

Тогда получим:

(5)

Это система дифференциальных уравнений в форме Коши. Ее можно записать в векторной форме:

Тогда систему дифференциальных уравнений (5) можно записать следующим образом:

(6)

Если F(x) не зависит от времени, то уравнение (6) можно записать в виде :

(7)

И такие уравнения называются автономнымиилистационарными.

3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами называются выражения вида:

(1)

Где x(t) – искомая функция времениt, определенная на интервале [0,];- постоянные коэффициенты;f(t) – правая часть дифференциального уравнения, известная функция времениt, которая определена на интервале времени [0, ]; - конечное время интегрирования дифференциального уравнение (1), на котором определено решение исходного дифференциального уравнения.

Предположим, что :

(2)

Введем обозначения:

(3)

Тогда решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно представить следующим образом:

(4)

Где - общее решение однородного дифференциального уравнения (2), которое зависит от постоянных интегрирования.

- частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1).

Решением однородного дифференциального уравнения будет:

(5)

А решением неоднородного уравнения будет:

(6)

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка:

(7)

Ипусть теперьи- корни уравнения (7). Тогда решение дифференциального уравнения в случае, если корни действительны или различны, будет иметь вид:

(8)

Если корни действительны и кратны, то решение будет иметь вид:

(9)

Если корни комплексно-сопряженные, то

(10)

- действительная часть корня,- мнимая часть корня.

Если для дифференциального уравнения вида:

(11)

Заданыначальные условия

И будем считать, что известно общее решение этого уравнения:

То для того, чтоб определить и, нужно решить следующую систему алгебраических уравнений.

Если найденные значения ипоставить в общее решение, то это будет частное решение.

Алгоритм решения обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений.

• Шаг 1.Составляется характеристическое уравнение, которое

соответствует заданному дифференциальному уравнению.

• Шаг 2.Находятся корни характеристического уравнения.

• Шаг 3.Выписывается фундаментальная система решений.

• Шаг 4.Записывается общее решение линейного однородного

дифференциального уравнения.

• Шаг 5.Используя заданные начальные условия, находятся постоянные

интегрирования.

• Шаг 6.Записываем частное решение исходного дифференциального

однородного уравнения.

Алгоритм решения обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

Шаг 1.Составляется характеристическое уравнение, которое

соответствует заданному дифференциальному уравнению.

Шаг 2.Находятся корни характеристического уравнения.

Шаг 3.Выписывается фундаментальная система решений, для

соответствующего линейного однородного

дифференциального уравнения.

Шаг 4.Записывается общее решение линейного однородного

дифференциального уравнения.

Шаг 5.Находится частное решение линейного неоднородного

дифференциального уравнения.

Шаг 6.Выписывается общее решение линейного неоднородного

дифференциального уравнения.

Шаг 7.Находим постоянные интегрирования.

Шаг 8.Выписывается частное решение линейного неоднородного

дифференциального уравнения.