- •Гоу впо Кубанский государственный технологический университет
- •Печатается по решению Редакционно-издательского совета КубГту
- •1 Цифровые системы управления
- •1.1 Способ управления с помощью эвм
- •1.2 Решетчатые функции и разностные уравнения
- •1.3 Условие устойчивости линейных импульсных систем, описанных разностными уравнениями
- •1.4 Дискретное преобразование Лапласа
- •1.5 Определение периода квантования при дискретном измерении без потери информации непрерывного сигнала
- •1.6 Основные свойства -преобразования
- •1.7 Дискретная передаточная функция
- •1.8 Получение оригинала из уравнений в конечных разностях и с помощью -преобразования
- •1.9 Цифровые аналоги типовых законов управления
- •1.10 Анализ цифровых систем управления
- •1.11 Анализ устойчивости цифровых систем.
- •1.12. Аналитический синтез алгоритма управления цифрового вычислительного устройства
- •1.13. Алгоритм цифрового управления по критерию быстродействия
- •1.14 Особенности реализации цифровых законов управления при использовании сервомоторов постоянной скорости
- •2.2 Характеристики случайных процессов
- •2.3 Стационарные случайные процессы
- •2.4 Основные свойства корреляционной функции и спектральной плотности стационарных случайных процессов
- •2.5 Прохождение случайных воздействий через линейную сау
- •2.6 Анализ систем регулирования при стационарных случайных воздействиях
- •2.7 Синтез сау при заданной структуре
- •2.8 Фильтр Винера - Колмогорова
2.7 Синтез сау при заданной структуре
Постановка задачи такова: даны статистические характеристики случайных воздействий , структура системы и все передаточные функции, указаны настроечные параметры . Необходимо найти оптимальные значения , обеспечивающие минимум выбранного критерия качества
, .
Последовательность решения данной задачи такова.
Находят зависимость дисперсии или СКО от варьируемых параметров, используя табулированные интегральные соотношения (2.33), (2.34).
Приравнивая нулю частные производные по искомым переменным, получают систему алгебраических уравнений с неизвестными:
;
. . . . . . . . .
.
Решая совместно систему уравнений, находят параметры системы , обеспечивающие экстремум .
Если необходимо найти , то методика остается прежней, изменяется только система уравнений, которая принимает вид:
;
. . . . . . . . . . . . . . . . .
.
Решая полученную систему уравнений, находят оптимальные значения .
Если квадратичная форма
является положительно определенной, то точке соответствует минимум, если отрицательно определенной, то максимум функции.
В соответствии с критерием Сильвестра квадратичная форма будет положительно определенной, если
; и т.д.
и отрицательно определенной, если
; и т.д.
Здесь
;
и т.д.
;
Пример.
Пусть система состоит из регулятора (рисунок2.2) с и объекта с . Возмущение действует на вход регулятора.
Определить , при котором .
Рисунок 2.2 - Структурная схема САУ
Решение задачи осуществляется в следующем порядке:
Находятся выражения передаточных функций замкнутой системы по соответствующим возмущениям и .
;
; ;
где - обозначен сопряженный множитель.
Степень знаменателя , поэтому
,
где
Здесь, как и раньше, пустая скобка под интегралом обозначает сопряженное выражение.
.
Таким образом,
;
;
.
Отсюда
.
Легко видеть, что , следовательно, оптимальное значение коэффициента усиления регулятора минимизирует дисперсию ошибки.
В случае сложных выражений для и аналитическое определение оптимальных параметров может быть затруднено. В это случае пользуются приближенным способом, по которому строят графики спектральных плотностей, квадрата модуля АФХ. Перемножая их и суммируя, находят дисперсию ошибки.
Как и при детерминированных входных воздействиях (ступенчатое, импульсное) по реакции на них судят о свойствах линейной системы, так и при случайных воздействиях можно судить о фильтрующих ее свойствах по реакции на единичный белый шум. Это обстоятельство существенно облегчает анализ линейных систем (их сравнение) при наличии случайных воздействий. Конечно, каждая система по-разному будет реагировать на случайные воздействия различного спектра, однако часто можно сказать, что лучше система та, у которой СКО на единичный белый шум меньше.
Вычисление дисперсии в этом случае сводится к оценке интервала
где
Степень полинома числителя должна быть по крайней мере на единицу меньше степени полинома знаменателя.
Разложим полином на четные и нечетные члены:
,
где ; .
Определим следующие отношения:
;
;
где ; ;
; .
Обозначим
Очевидно . Доказана теорема, что если корни полинома лежат в левой полуплоскости, то справедливо рекуррентное соотношение:
В итоге можно получить:
Следует отметить, что рассмотренные задачи в настоящее время легко решаются с помощью математического пакета Mathcad [7].