- •Лабораторная работа № 6 интерполяционный многочлен лагранжа
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение полинома Лагранжа для таблично заданной функции.
- •Построение полинома Лагранжа в пакете mathcad.
- •Пример построения полинома Лагранжа в пакете matlab.
- •Пример использования узлов Чебышева.
- •Пример вычисления погрешности интерполирования.
- •Варианты лабораторных работ
- •Варианты лабораторных работ (продолжение)
- •Варианты лабораторных работ (окончание)
Лабораторная работа № 6 интерполяционный многочлен лагранжа
Цель работы: изучить метод построения для табличной функции y(x) интерполяционного полинома в форме полинома Лагранжа, сравнить результаты интерполирования для функции F(x) в случае выбора произвольной сетки узлов интерполирования и в случае выбора узлов Чебышева, оценить погрешность интерполирования.
Постановка задачи
-
Изучить теоретические сведения.
-
Построить для заданной табличной функции y(x) аналитическую функцию в виде интерполяционного многочлена Лагранжа. Выполнить поставленную задачу в средах MATHCAD и MATLAB.
-
Определить значение функции в средних точках интервалов , , .
-
Проверить результаты с помощью встроенных функций интерполяции.
-
Представить полученные результаты графически.
-
Задать самостоятельно дробно-рациональную функцию F(x) специального вида. Сравнить с помощью графиков результаты интерполирования для функции F(x) в случае выбора произвольной сетки узлов интерполирования и в случае выбора узлов Чебышева.
-
Найти значение функции F(x) в промежуточной точке на интервале интерполирования. Оценить погрешность замены функции интерполяционным многочленом.
-
Применить встроенные функции пакета MATLAB для решения реальной задачи интерполирования (данные взять из файла file.dat).
Содержание отчёта
-
Теоретические сведения.
-
Таблица значений исходной функции Y(x).
-
Запись интерполяционного многочлена Р(x) для заданной табличной функции (без приведения подобных).
-
Листинги для решения задачи построения интерполяционного многочлена Лагранжа в пакетах MATHCAD и MATLAB.
-
Таблица значений исходной функции F(x) (задать самостоятельно).
-
Сравнительный анализ результатов интерполирования для функции F(x) в случае выбора произвольной сетки узлов интерполирования и в случае выбора узлов Чебышева.
-
Вычисление погрешности интерполирования для произвольной точки функции F(x) (в пакете MATHCAD).
-
Решение задачи интерполирования для таблицы данных файла file.dat. Графики результата интерполирующего многочлена.
-
Выводы.
Теоретические сведения
Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются формулой, обычно называемой интерполяционной формулой Лагранжа.
Пусть на отрезке [a,b] заданы точки xk, k=0,1,…,n (узлы интерполирования), в которых известны значения функции f(x). Задача интерполирования алгебраическими многочленами состоит в том, чтобы построить многочлен степени n
, (6.1)
значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции f(x) в этих точках:
(6.2)
Для любой непрерывной функции f(x) сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов a0,a1,…,an получаем систему линейных уравнений
,
определитель которой (определитель Вандермонда) отличен от нуля, если среди точек xi, i=0,1,…,n нет совпадающих. Решение системы можно записать различным образом.
Интерполяционный многочлен, представленный в виде
(6.3)
называется интерполяционным многочленом Лaгранжа (Жозеф Луи Лагранж — французский математик). Функции wi есть многочлены степени n, которые называются лагранжевыми коэффициентами:
(6.4)
Рассмотрим два частных случая интерполяционного полинома Лагранжа.
1. При имеем две узловые точки. Формула Лагранжа представляет в этом случае уравнение прямой , проходящей через две заданные точки:
,
где — абсциссы этих точек.
2. При получим уравнение параболы , проходящей через три точки:
,
где — абсциссы данных точек.
Отметим преимущества и недостатки многочлена Лагранжа.
Преимущества: интерполяционный многочлен Лагранжа работает как для таблиц с постоянным шагом, так и для таблиц с переменным шагом; рni(x) не зависит от функции f(x), откуда следует, что по одной системе узлов можно интерполировать несколько функций.
Недостатки: все слагаемые в формуле Лагранжа равнозначны, поэтому при добавление узлов таблицы многочлен Лагранжа придется полностью перестраивать.
Погрешность интерполяционной формулы Лагранжа удовлетворяет неравенству
,
где , , .
Величину ошибки можно минимизировать, если в качестве узлов интерполяции выбрать абциссы (узпы) полинома Чебышева. Многочлен Чебышева Tn(x) на интервале [-1,1] имеет ровно n действительных корней, определяемых как . Для того чтобы решить задачу интерполяции на интервале [a,b], необходимо выполнить линейное преобразование.