3. Числовая последовательность и ее предел. Единственность предела.

Функцию, заданную на множестве натуральных чисел, со значениями во множестве действительных чисел, называют числовой последовательностью.

f: N → R

D (f) = N

E (f) = R

Числа х₁, х₂, …, х_n называются членами последовательности, а число х_n – общим или n-м членом данной последовательности.

Совокупность чисел (х_n) называется множеством значений последовательности. Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным.

Последовательность задана, если указан способ получения ее элемента:

1) формулой, позволяющей вычислить каждый член последовательности по его номеру;

2) рекуррентной формулой, позволяющей находить члены последовательности по известным предыдущим;

3) описанием ее членов.

Геометрически последовательность можно изобразить точками с координатами (n, х_n) на плоскости или точками х_n на числовой оси.

Числовая последовательность (х_n) называется ограниченной снизу (сверху), если найдется действительное число m (М), при котором для любого натурального n верно неравенство х_n≥m (х_n≤М).

Числовая последовательность (х_n) называется ограниченной, если найдутся действительные числа m и М, при которых для любого натурального n верно неравенство m≤х_n≤М.

Число а называется пределом последовательности (х_n), если для любого ɛ>0 существует номер n_ɛ, зависящий от ɛ, такой, что при всех n>n_ɛ выполняется неравенство |x_n – a| < ɛ.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; не имеющая предела – расходящейся.

C помощью логических символов определение предела последовательности можно записать в виде:

(lim _{n → ∞} x_n = а)  ( > 0) ( NN) | ( n > N): |х_n - а| < .

Неравенство |х_n - а| <  равносильно неравенству а -  < х_n < а + .

Итак, число а – предел последовательности, если для любого сколь угодно малого положительного числа , найдется номер N (зависящий, вообще говоря, от ), начиная с которого все члены последовательности принадлежат интервалу (а -  ; а + ), который называется -окрестностью точки а.

Другими словами, для каждой -окрестности точки а найдётся номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой -окрестности, причем вне этой окрестности либо нет ни одного члена этой последовательности, либо содержится лишь конечное число членов последовательности.

C помощью логических символов определение предела последовательности можно записать и на «языке окрестностей»:

(lim _{n → ∞} x_n = а)  ( > 0) ( NN) | ( n > N): х_n  U_ (a)

Теорема о единственности предела: Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство:

Это следует из того, что последовательность не может одновременно приближаться к двум разным числам одновременно. Формально, выберем ε значительно меньше разницы между числами A и B. Тогда очевидно, что мы не сможем указать такого номера N, начиная с которого одновременно будут выполнены два условия:

|х_n - А| <  и |х_n - B| < 

Этими рассуждениями теорема доказана.