13. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.

Пусть существует число  > 0 такое, что функция y = f (x) определена в -окрестности точки x₀, т.е. на множестве U_ (x₀) = (x₀  , x₀ + ), и пусть для всех х  U_ (x₀) выполняется неравенство f (x)  f (x₀).

Говорят, что функция f (x) имеет в точке x₀ локальный минимум.

Аналогично, если существует число  > 0 такое, что для всех х  U_ (x₀) выполняется неравенство f (x)  f (x₀), то говорят, что функция f (x) имеет в точке x₀ локальный максимум.

Локальный минимум и локальный максимум объединяются общим термином локальный экстремум.

Необходимые условия экстремума легко получить из теоремы Ферма. Согласно этой теореме точки локального экстремума функции f (x) следует искать среди тех точек области ее определения, в которых производная этой функции либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная данной функции равна нулю, называют стационарными точками этой функции, а точки, в которых функция непрерывна, а ее производная либо равна нулю, либо не существует, - ее критическими точками. Поэтому все точки экстремума содержатся среди ее критических точек. При этом не всякая критическая точка является точкой экстремума функции.

Введем понятие строгого экстремума. Назовем точку x₀ точкой строгого максимума функции f (x), если существует число  > 0 такое, что для всех х  Ů_ (x₀) выполняется неравенство f (x) < f (x₀).

Аналогично, x₀ называют точкой строгого минимума функции f (x), если существует число  > 0 такое, что для всех х  Ů _ (x₀) выполняется неравенство f (x) > f (x₀).

Первое достаточное условие строгого экстремума: Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀, и непрерывна в точке x₀. Тогда:

а) если при переходе через точку х₀ производная f ´(x) меняет знак с минуса на плюс, т.е. существует число  > 0 такое, что для всех х  (x₀  , x₀) выполняется неравенство f ´(x) < 0, а при всех х  (x₀, x₀ + ) выполняется неравенство f ´(x) > 0, то х₀ - точка строгого минимума функции f;

б) если при переходе через точку х₀ производная f ´(x) меняет знак с плюса на минус, то х₀ - точка строгого максимума функции f:

Доказательство:

Пусть производная меняет знак с плюса на минус.

Если х – произвольная точка интервала (x₀  , x₀), то функция f (х) дифференцируема на интервале (x, x₀) и непрерывна на отрезке [x, x₀]. По теореме Лагранжа

f (x) – f (x₀) = f ´(ξ)(x - x₀), где f ´(ξ) < 0, так как x₀   < x < ξ < x₀ и x - х₀ < 0.

Отсюда следует, что для любого x  (х₀  , x₀) выполняется неравенство f (x) > f (x₀).

Аналогично, применяя теорему Лагранжа к функции f (x) на отрезке [х₀, x], получаем, что для любого x  (х₀, x₀ + ) выполняется неравенство f (x) > f (x₀).

Это и означает, что х₀ - точка строгого минимума функции f (х).

Аналогично рассматривается случай строгого максимума.

Второе достаточное условие строгого экстремума: Пусть точка x₀ – стационарная точка функции f (x), т. е. f ´(x₀) = 0 и пусть существует f (x₀). Тогда:

а) если f (x₀) > 0, то x₀ - точка строгого минимума функции f (x);

б) если f (x₀) < 0, то x₀ - точка строгого максимума функции f (x).

Доказательство:

Если f (x₀) > 0, то функция f ´(x) является строго возрастающей в точке x₀, т.е. существует число  > 0 такое, что для всех х  (x₀  , x₀) выполняется неравенство f ´(x) < f ´(x₀) = 0, а при всех х  (x₀, x₀ + ) выполняется неравенство f ´(x) > f ´(x₀) = 0, откуда следует, что функция f ´(x) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку х₀. Согласно предыдущей теореме, х₀ - точка строгого минимума функции f(x). Аналогично рассматривается случай f (x₀) < 0.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

Для функции, непрерывной на отрезке [a, b], согласно теореме Вейерштрасса существует точка, в которой эта функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой эта функция принимает наименьшее значение.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке рекомендуется пользоваться схемой:

1. Найти производную f ´(x).

2. Найти критические точки функции, в которых f ´(x) = 0 или f ´(x) не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них f_наиб и f_наим.