- •§1. Постановка задачи.....................................................................46
- •§1. Основные понятия..................................................................61.
- •§1. Основные понятия.................................................................81
- •§1 Основные понятия.
- •§ 2 Классификация моделей
- •§ 3 Классификация решаемых экономических задач.
- •Классификация решаемых экономических задач.
- •Глава 2. Линейное программирование
- •§ 1 Общая постановка задачи
- •§ 2 Двойственность в задачах линейного программирования
- •Правила построения двойственной задачи по имеемой прямой задаче:
- •§ 3 Теоремы двойственности.
- •§4 Решение задач линейного программирования геометрическим методом
- •Алгоритм геометрического метода решения задач лп.
- •Рассмотрим задачу.
- •§ 5 Симплексный метод решения задач лп
- •Глава 3. Транспортная задача
- •§ 1 Постановка задачи.
- •§ 2 Алгоритм решения транспортных задач.
- •Метод наименьшего элемента.
- •Метод потенциалов.
- •§ 3 Примеры решения транспортных задач.
- •1.Проверяем задачу на сбалансированность.
- •Составляем математическую модель прямой и двойственной задач.
- •Решаем задачу по методу максимального элемента.
- •Глава 4 . Целочисленное программирование
- •§ 1 Постановка задачи целочисленного программирования.
- •§ 2 Графический метод решения задач целочисленного программирования.
- •Алгоритм графического решения задачи целочисленного программирования.
- •§ 3 Пример решения задачи целочисленного программирования.
- •Контрольные вопросы.
- •Глава 5 . Динамическое программирование
- •§1. Постановка задачи.
- •§2. Принцип оптимальности Беллмана.
- •§3. Задача распределения средств на 1 год
- •§4. Задача распределения средств на два года
- •Глава 6 . Управление производством.
- •§ 1 Управление производством.
- •§ 2 Управление запасами .Складская задача.
- •Глава 7. Теория игр.
- •§1 Основные понятия.
- •§2 Антагонистические игры.
- •Геометрический способ решения антагонистических игр
- •§3 Игры с « природой».
- •Пример №1
- •2. Критерий Гурвица.
- •3. Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска).
- •4. Критерий Лапласа. N
- •Пример №2
- •Глава 8. Системы массового обслуживания
- •§I. Формулировка задачи и характеристики смо
- •§2 Смо с отказами
- •2.1 Основные понятия
- •2.2 Формулы для расчета установившегося режима
- •§3 Смо с неограниченным ожиданием
- •3.1 Основные понятия
- •3.2 Формулы для расчета установившегося режима
- •§4 Смо с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
- •4.1 Основные понятия
- •4.2Формулы для установившегося режима
- •§5 Примеры решения задач.
- •Глава 9 нелинейное програмирование.
- •§1 Основные понятия.
- •§2 Математическая модель задачи.
- •§3 Безусловный экстремум
- •§4 Условный экстремум
- •Глава 10 . Сетевое планирование.
- •§1 Основные понятия метода сетевого планирования
- •Работа, события, путь.
- •Любая работа соединяет только 2 события.
- •§2 Расчет сетевых графиков
- •Содержание практических занятий
- •Рекомендуемая литература:
Геометрический способ решения антагонистических игр
Геометрический способ решения игр с нулевой суммой применяется к играм, где хотя бы у одного игрока только две стратегии. Иногда возможно упростить игры, применяя следующие принципы:
1. Игрок А стремится увеличить свой выигрыш, поэтому он не будет использовать стратегии, которые заведомо дают ему меньшие суммы;
2. Игрок В стремится уменьшить свой проигрыш, поэтому он не будет использовать стратегии, которые заведомо отнимают большие суммы.
Рассмотрим платежную матрицу
-
7
6
5
4
2
5
4
3
2
3
5
6
6
3
5
2
3
3
2
4
Упростим матрицу, вычеркивая заведомо невыгодные стратегии игроков.
Путем упрощения, ее можно свести к матрице (2 * 2)
-
ВJ АJ
В1
В2
A1
4
2
A2
3
5
р1 - вероятность применения игроком А стратегии A1;
р2 - вероятность применения игроком А стратегии A2.
Так как р1+ р2=1, то р2=1- р1. Тогда получим:
Чистые стратегии игрока В |
Ожидаемые выигрыши игрока А |
В1 |
4 р1+3 р2= (4-3)р1+3=р1+3 |
В2 |
2 р1+5 р2=(2-5)р1+5=-3р1+5 |
На оси Ох разместим точки р1=0 и р1=1, через которые проведем прямые, перпендикулярны оси Ох. Подставляя р1=0 и р1=1 в выражение р1+3, найдем значения, которые отложим на соответствующих перпендикулярных прямых. Соединив эти точки, получим прямую.
Аналогично рассмотрим выражение -3р1+5.
Оптимальная стратегия первого игрока найдется из равенства выражений
р1+3 и -3р1+5: р1= р2=0,5. SA = (0,5; 0; 0,5; 0), при этом цена игры равна 3,5.
Для второго игрока оптимальная стратегия ищется аналогично.
Если же игра не сводится путем упрощения к 2 x n или m x 2, то составляется математическая модель и задача решается симплекс-методом.
§3 Игры с « природой».
Для того чтобы можно сделать вывод о том какую именно стратегию выбирать игроку, необходимо использовать критерии Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Лапласа, Байеса.
1. Критерий Вальда. Рекомендуется применять максиминную стратегию. Она достигается из условия max min αij и совпадает с нижней ценой игры.
i j
Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека образом, агрессивно, делать все, чтобы помешать нам достигнуть успеха.
Рассмотрим задачу.
Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине может принимать следующие значения
-
1
2
3
4
5
100
150
200
250
300
Если булочка не продана днем, то она м.б. реализована за 15 центов к концу дня. Свежие булочки продаются по 49 центов за штуку. Затраты магазина на одну булочку 25 центов.
Используя игровой подход, определить, какое число булочек надо заказывать ежедневно.
Составим платежную матрицу. Сначала вычислим прибыль (49-25=24) и убыток (15-25=-10).
|
100 |
150 |
200 |
250 |
300 |
100 |
100*24 |
100*24 |
100*24 |
100*24 |
100*24 |
150 |
100*24-50*10 |
150*24 |
150*24 |
150*24 |
150*24 |
200 |
100*24-100*10 |
150*24-50*10 |
200*24 |
200*24 |
200*24 |
250 |
100*24-150*10 |
150*24-100*10 |
200*24-50*10 |
250*24 |
250*24 |
300 |
100*24-200*10 |
150*24-150*10 |
200*24-100*10 |
250*24-50*10 |
300*24 |
Платежная матрица примет вид
|
100 |
150 |
200 |
250 |
300 |
100 |
2400 |
2400 |
2400 |
2400 |
2400 |
150 |
1900 |
3600 |
3600 |
3600 |
3600 |
200 |
1400 |
3100 |
4800 |
4800 |
4800 |
250 |
900 |
2600 |
4300 |
6000 |
6000 |
300 |
400 |
2100 |
3800 |
5500 |
7200 |
Вычислим критерий Вальда - максиминный. Он отражает принцип гарантированного результата:
Олицетворяет позицию крайнего пессимизма: надо ориентироваться всегда на худшие условия, зная наверняка, что хуже этого не будет. Этот перестраховочный подход для того, кто очень боится проиграть.
Оптимальной считается стратегия, при которой гарантируется выигрыш в любом случае, не меньший, чем нижняя цена игры с природой:
Н = max min αij
i j
Подсчитать min по строкам и выбрать ту стратегию, при которой минимум строки максимален.
-
А1
2400
А2
1900
А3
1400
А4
900
А5
400
Критерий Вальда рекомендует выбирать стратегию А1.
2. Критерий Гурвица (оптимизма - пессимизма). Критерий рекомендует при выборе решения не руководствоваться ни крайним пессимизмом (всегда рассчитывай на худшее), ни крайним легкомысленным оптимизмом (авось кривая выведет). Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле
H = Max {γmin aij + (1- γ)max aij}
i j j
где γ - степень оптимизма - изменяется в диапазоне [0, 1].
Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При γ = 1 критерий превращается в критерий Вальда, при γ = 0 - в критерий максимума. На γ оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем хуже последствия ошибочных решений, больше желания застраховаться, тем γ ближе к единице.
Рассмотрим платежную матрицу.
Параметр Гурвица возьмем равным 0,6.
|
min |
max |
γmin aij + (1- γ)max aij |
А1 |
2400 |
2400 |
2400*0.6+0.4*2400=2400 |
А2 |
1900 |
3600 |
1900*0.6+3600*0.4=2580 |
А3 |
1400 |
4800 |
1400*0.6+4800*0.4=2760 |
А4 |
900 |
6000 |
900*0.6+6000*0.4=2940 |
А5 |
400 |
7200 |
400*0.6+7200*0.4=3120 |
Критерий Гурвица рекомендует стратегию А5.
3. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.
Элементы матрицы рисков находится по формуле (rij):
rij = max aij - aij
где max aij - максимальный элемент в столбце исходной матрицы.
Оптимальная стратегия находится из выражения
H = Min {max(max aij - aij)}
Составим матрицу риска, (max aij - aij).
Выберем максимальный элемент в столбце и вычитаем из него остальные элементы столбца, получим max(max aij - aij).
|
100 |
150 |
200 |
250 |
300 |
Мax |
А1 |
0 |
1200 |
2400 |
3600 |
4800 |
4800 |
А2 |
500 |
0 |
1200 |
2400 |
3600 |
3600 |
А3 |
1000 |
500 |
0 |
1200 |
2400 |
2400 |
А4 |
1500 |
1000 |
500 |
0 |
1200 |
1500 |
А5 |
2000 |
1500 |
1000 |
500 |
0 |
2000 |
Из максимальных значений последнего столбца выбираем минимальную величину, получим Min {max(max aij - aij)}.
Критерий Сэвиджа рекомендует стратегию А4.
4. Критерий Лапласа. Этот критерий основывается на принципе недостаточного обоснования. Поскольку вероятности состояния не известны, необходимая информация для вывода, что эти вероятности различны, отсутствует. Поэтому можно предположить, что они равны. Выбор стратегии осуществляется по формуле
H = Max {1/n·∑ aij}
где 1/n вероятность реализации одного из состояний р = 1/n.
-
А1
(2400+2400+2400+2400+2400)/5=2400
А2
(1900+3600+3600+3600+3600)/5=3260
А3
(1400+3100+4800+4800+4800)/5=3780
А4
(900+2600+4300+6000+6000)/5=3960
А5
(400+2100+3800+5500+7200)/5=3800
Критерий Лапласа рекомендует нам стратегию А4.
Таким образом, рассмотрев одну платежную матрицу, мы получили, что критерии Лапласа и Сэвиджа рекомендует стратегию А4. То есть необходимый заказ булочек составит 250 единиц ежедневно.
5. Критерий Байеса. Принятие решения в условиях риска.
Если в рассмотренных выше критериях, необходимая информация о вероятностях какого-либо состояния отсутствовала, то критерий Байеса действует в условиях не полной информации, т.е. в условиях риска (имеется информация о вероятностях применения стратегий второй стороной). Эти вероятности называются априорными вероятностями.
Выбор стратегии осуществляется по формуле
H = Max {∑pi aij}
Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине задается следующим распределением вероятностей
-
1
2
3
4
5
100
150
200
250
300
0,2
0,25
0,3
0,15
0,1
Поставив значение aij и pi в формулу, получим:
-
А1
2400*0,2+2400*0,25+2400*0,3+2400*0,15+2400*0,1=2400
А2
1900*0,2+3600*0,25+3600*0,3+3600*0,15+3600*0,1=3260
А3
1400*0,2+3100*0,25+4800*0,3+4800*0,15+4800*0,1=3695
А4
900*0,2+2600*0,25+4300*0,3+6000*0,15+6000*0,1=3620
А5
400*0,2+2100*0,25+3800*0,3+5500*0,15+7200*0,1=3290
Критерий Байеса рекомендует стратегию А3
В условиях полной неопределенности теория не дает однозначных принципов выбора того или иного критерия.
Оптимальные стратегии, выбранные по различным критериям, различны.
Таким образом, окончательный вывод зависит от предпочтений человека, который принимает решение.