Задачи для самостоятельного решения
Используя определения производной функции, найти производные или частные производные по каждой независимой переменной.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
Найти производные или частные производные по каждой независимой переменной.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.25. Найти
и
,
если
,
где
,
.
4.26. Найти
,
если
,
где
,
,
.
4.27. Найти
и
,
если
,
где
.
4.28. В какой точке
касательная к параболе
:
1) параллельна прямой
;
2) перпендикулярна к прямой
;
3) образует с прямой
угол в
?
4.29. Какой угол
образует с положительным направлением
оси абсцисс касательная к линии
в точке
?
4.30. Какой угол
образует с положительным направлением
оси ординат касательная к линии
в точке
?
Написать уравнения касательных к кривым.
4.31.
в точке с абсциссой
.
4.32.
в точке с абсциссой
.
4.33.
в точках пересечения с осью
.
Найти угол между линиями.
4.34.
и
.
4.35.
и
.
4.36. Найти уравнение
касательной плоскости и нормали к
поверхности
в точке
.
4.37. Найти расстояние
от начала координат до касательной
плоскости к поверхности
в точке
.
5. Практическое занятие по теме: производная неявной функции однОй и нескольких переменных. Производная функции, заданной параметрически. Логарифмическое дифференцирование
-
Производная неявно заданной функции.
Пусть даны неявно заданные функции:
функция одной переменной
, (5.1)
функция двух переменных
. (5.2)
Рассмотрим два способа дифференцирования неявно заданной функции.
Способ 1.
Продифференцировать
уравнение (5.1) по
,
считая
функцией от
,
а уравнение (5.2) отдельно по
и по
,
считая
функцией от
и
.
Затем полученные выражения разрешить
относительно
(в случае функции одной переменной) и
относительно
,
(в случае функции двух переменных).
Способ 2.
Воспользоваться формулами:
для функции одной переменной
; (5.3)
для функции двух переменных
,
. (5.4)
Пример 1. Найти
производную
функции, заданной уравнением
,
двумя способами.
Решение. Способ I: продифференцируем обе части данного уравнения:
,
,
.
Слагаемые,
содержащие
,
оставим в левой части, не содержащие
перенесем в правую часть, получаем:
.
В правой части
равенства выносим
за скобку, имеем:
.
Теперь выразим
: 
.
Способ II:
Здесь
.
Находим
и
: 
,
.
Тогда по формуле (5.3) получаем
,
или
.
Ответ.
.
Пример 2. Найти
частные производные
и
функции, заданной уравнением
,
двумя способами.
Решение. Данная
функция ‑ неявно заданная функция
двух переменных. Найдем частные
производные
и
.
Способ I:
Продифференцируем обе части уравнения
по
:
,
,
,
.
Выражая
,
получим: 
.
Продифференцируем
обе части уравнения по
:
,
,
.
,
,
Выражая
,
получим: 
.
Способ II:
.
Здесь
.
Находим
,
и
:
, 
, 
.
Тогда по формулам (5.4) получаем:
или
,
или
.
Ответ.
,
.
Легко заметить, что полученные разными способами производные совпадают.