ms_labs

Рис. 4. Рекурентні діаграми, отримані засобами MS Exсel.

Для підтвердження правомірності використання методу за його реалізації в середовищі MS Exсel побудовані часові ряди з адитивним шумом і для них побудовані також рекурентні діаграми. Для цього до значень отриманих первинних сигналів з інтервалом значень 1, 1 додано сигнал, утворений послідовністю випадкових чисел, рівномірно розподілених в межах інтервалу0.1, 0.1 за допомогою того ж самого вбудованого в MS Exсel генератора псевдовипадкових чисел, що був використаний для створення первинних сигналів. Іншими словами, цей сигнал, додатних та від’ємних випадкових чисел обсягом в 100 рівнів, накладено на первинний сигнал так, щоб індекси їхніх значень (рівнів) збігалися. Далі, проведено процедуру за формулою (1).

Результати використання накладеного на часові ряди шуму приведені на рис. 5.

1.5											1.5											1.5
1											1											1
0.5											0.5											0.5
0											0											0
1	11	21	31	41	51	61	71	81	91	101	1	11	21	31	41	51	61	71	81	91	101	1	11	21	31	41	51	61	71	81	91	101
-0.5											-0.5											-0.5
-1											-1											-1
-1.5											-1.5											-1.5

Рис. 5. Рекурентні діаграми, спотворених шумом часових рядів.

111

Можна стверджувати, що отримані рекурентні діаграми засобами MS Exсel є подібними до діаграм, приведених в літературних джерелах для хаотичних часових рядів.

Висновки

Застосування табличного процесора MS Exсel для аналізу коротких часових рядів є правомірним, і суттєво доповнює арсенал методів їх обробки, аналізу та моделювання. Крім того, приведений підхід розкриває спосіб побудови рекурентних, що в свою чергу може бути використано і для розробки програмного забезпечення спеціальних та загальних інформаційних технологій. Засоби MS Exel можна використовувати для побудови рекурентних діаграм коротких часових послідовностей.

Форма звіту

1.Звіт оформляється на одному аркуші формату А4 з обох сторін.

2.На першій сторінці вказують: кафедра, назва роботи, групу. Прізвище та ім’я студента.

3.Мета роботи.

4.Далі – вихідні дані – часовий ряд заданий викладачем у вигляді вордтаблиці.

5.Подаються лише основні результати, а саме скриншот за рис. 3 та використані рівняння Ексель.

6.Оскільки, кількість рівнів часових рядів є досить велика, а алгоритм побудови рекурентних діаграм є доволі простий рекомендовано розробити відповідне програмне забезпечення.

7.Висновок про те, що отримано в роботі і в чому перевага Ексель.

8. Посада, прізвище та ініціали викладача, який прийняв звіт.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 7

ФАЗОВИЙ АНАЛІЗ ЧАСОВОГО РЯДУ

ВСТУП.

112

Подання даних, коли порядок отримання їх в часі має бути збережений, стало розглядатися як окремий розділ математичної статистики та випадкових процесів. В цьому плані, дискретна послідовність відліків, прив’язаних до часу їх реєстрації, дістали назву часових рядів. В основі оброблення таких даних лежала лінійна парадигма математичної статистики, яка базується на ідеї нормального розподілу даних та закону великих чисел. В результаті, часові ряди подавалися низкою статистичних параметрів та вибраною і обґрунтованою дослідником їхньою математичною моделлю. В основному параметри стосувалися описової статистики і включали: обсяг, екстремальні значення, розмах, математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичне відхилення, асиметрію та ексцес. Окремо подавалися вид закону розподілу в аналітичній формі з кількісними значеннями його параметрів та його тенденція у вигляді алгебраїчного рівняння з конкретними значеннями коефіцієнтів. Хоча часові ряди і відображають зміну показника в часі, проте жодних інших характеристики, крім математичної моделі цієї залежності, вони не дають.

Останнім часом, в наукових досліджень використовують методи і принципи нелінійної динаміки, запозичені з арсеналу фізичних та математичних методів. Власне, впровадження в обробку даних, а саме в аналіз часових рядів методів нелінійної динаміки, свідчить про перехід до нелінійної парадигми, що є суттєвим кроком в розвитку процесів пізнання та практичного використання результатів досліджень.

Нелінійна динаміка є міждисциплінарною наукою, яка вивчає властивості нелінійних динамічних систем. Динамічна система по суті є математичною абстракцією, з допомогою якої описують і вивчають еволюцію системи в часі, її розвиток та поведінку. Під динамічною системою розуміють будь-який об’єкт або процес, для якого однозначно визначено поняття стану. Стан системи в нелінійній динаміці розглядають як сукупність деяких величин в конкретний момент або інтервал часу та закон зміни початкового стану в продовж часу. Цей закон дозволяє прогнозувати майбутній стан динамічної системи.

Нелінійна динаміка використовує для опису систем нелінійні моделі створені на основі диференціальних рівнянь та дискретних відображень. Прикладами таких систем є механічні системи, тобто ті, що рухаються, фізичні, хімічні, біологічні процеси і об’єкти, обчислювальні процеси і процеси перетворення інформації.

Основною властивістю реальних фізичних систем, моделі яких відповідають поняттю динамічної системи є детермінованість. Суть цієї властивості в тому, що знаючи стан системи в початковий момент часу, ми можемо однозначно передбачити всю її подальшу поведінку. Ознака нелінійності в терміні «нелінійна динаміка» вказує на те, що розглядаються виключно нелінійні системи, які описуються нелінійними диференціальними рівняннями. Особливістю нелінійних систем є можливість реалізації в них множини різних режимів функціонування, які залежать від початкового стану,

113

параметрів системи та зовнішніх впливів. Зокрема, в нелінійних системах можуть існувати режими детермінованого хаосу у вигляді незатухаючих аперіодичних коливань, подібних до випадкових процесів.

Дослідження нелінійних динамічних систем обумовлене тим, що оточуюче нас середовище – природа і суспільство у своєму розвитку підпорядковуються в основному нелінійним законам, хоча мають місце і лінійні закони, проте вони виступають як окремі випадки.

Один з кращих способів зрозуміння поведінки динамічної системи, це зробити її динаміку видимою, наприклад, побудувати її графік. Першим кроком в дослідженні динамічних систем є аналіз поведінки системи, визначеної динамікою її стану. Оскільки стан системи визначається багатьма параметрами, показниками та характеристиками, вираженими кількісно, тобто деяким набором чисел, які є координатами точки в багатомірному просторі.

В основі методу фазового аналізу лежить відомий у фізиці та прикладній математиці спосіб вивчення поведінки динамічної системи, яку описано скінченним набором параметрів стану C1, , CN , а сам аналіз проводять в

просторі, координатами якого є ці параметри.

Такий N - мірний простір називають фазовим простором або простором станів. Фазовий простір або простір станів – це абстрактний математичний простір, в координатах якого відображаються змінні, необхідні для того щоб задати фазу (або стан) динамічної системи. Фазовий простір містить всі миттєві стани системи, які тільки можуть бути.

Як доповнення до простого графіка часового ряду, фазовий простір поіншому подає розвиток динаміки системи. До того ж, оскільки, деякі часові ряди можуть бути дуже довгими, їх складно показати на одному графіку. Фазовий простір дає нам картину можливостей системи оскільки має відповідну структуру, елементи якої – фазові точки відображають стан системи в залежності від поставлених задач і намічених цілей. Також треба зазначити, що структури або залежності, які важко помітити на графіку часового ряду, часто виявляються в наочних формах у фазовому просторі.

Площина, на якій за осями координат будують фазові точки, що відповідають стану системи називають фазовою площиною, а відповідні координати називають фазовими координатами. Ці координати вибираються, виходячи з природи спостережуваного процесу.

Приймають, що між станами системи та зображуючими їх фазовими точками має місце ізоморфізм, тобто, немає між ними різниці. Зміну станів системи протягом деякого часу подають як еволюцію системи, часто використовуючи термін еволюційний процес – хронологічно впорядковану послідовність точок фазового простору. Поведінка системи визначається траєкторією зміни положення фазових точок, тобто відображає її рух у фазовому просторі. Крива, що описується фазовими точками називається

фазовою кривою або фазовою траєкторією.

114

Математична модель будь-якої динамічної системи являє собою фазовий простір з визначеною на ньому фазовою траєкторією стану системи. Математичні моделі динамічних систем класифікують в залежності від структури їх фазового простору та виду траєкторії. Поведінка системи може мати, як строго детермінований характер, так і цілком стохастичний. Основою для дослідження поведінки системи є часовий ряд – впорядкована в часі послідовність спостережених значень конкретного показника. Досить часто ні кількість змінних показників процесу еволюції системи, ні тип функції, опису її поведінки заздалегідь невідомі.

Графічне зображення системи на фазовій площині (або у фазовому просторі), по координатних осях якої відкладені значення величин змінних системи називається фазовим портретом системи. Поведінка фазових точок в часі, яка описується фазовою траєкторією та сукупність таких фазових траєкторій для будь-яких початкових умов утворюють фазовий портрет.

Фазовий портрет фактично є математичним образом поведінки системи і подає не лише геометричне зображення окремих рухів, стану рівноваги, періодичних та хаотичних переміщень фазової точки, але також визначає «логіку» поведінки системи, її залежність від параметрів.

Аналіз фазового портрета дозволяє визначити тип або характерні особливості динаміки системи, пов’язані з її особливостями. Основною перевагою методу фазової площини є його придатність для аналізу як лінійних, так і нелінійних систем. Деякі важливі властивості нелінійних систем, які неможливо або важко досліджувати аналітично, піддаються наочному тлумаченню і якісному дослідженню за допомогою графоаналітичної побудови у фазовій площині.

Для побудови фазового портрету системи, якщо виміряна лише одна змінна, тобто в розпорядженні є одномірний часовий ряд, використовують два методи:

- метод псевдофазового простору з часовою затримкою. Суть цього методу полягає в тому, що для системи з одним степенем вільності, в якій виміряна величина x t , будується залежність часового ряду від його ж рівнів для другого моменту часу, відстаючий або випереджуючий даний момент на постійну величину: x t , x t T . Ідея полягає в тому, що ряд x t T є

зв’язаний з x t , і результат повинен мати ті ж властивості, що і у випадку використання істинної фазової площини x t , x t .

- метод з чисельною похідною. Суть цього методу полягає в тому, що в кожній точці вихідного часового ряду x t чисельними методами оцінюється

перша похідна dy і вся подальша обробка сигналу виконується на фазовій dt

площині в координатах	x t ,	dx		або	x t , x t , тобто істинна фазова
		dt

115

площина відображається в системі координат змінної x t та її похідної x t . Значення похідної легко знайти чисельними методами за спеціальними формулами. Можливість зміни знаку похідної можна виключити привівши масштаб похідної до рівнів часового ряду.

Мета роботи: побудувати фазові портрети даного часового ряду і знайти параметри квазіциклів, використовуючи засоби табличного процесора Ms Excel.

Побудова фазового портрету методом часової затримки.

На практиці, для побудови фазового портрету використовують в якості фазових координат оригінальний часовий ряд та той самий ряд, але зсунутий на один рівень. Рівні першого ряду виступають в ролі абсцис, а рівні другого в

ролі ординат. Іншими словами, фазовий портрет будують так:
- поруч з основним рядом x t розташовують	знову цей ряд,	але
		T
зміщений назад або вперед на один рівень, ряд x t тобто	x t x t T , де

–величина зсуву;

-фазовими координатами в цьому випадку є пари xi t ; xi 1 t , причому

знак «+» в індексі означає напрям зміщення вперед.

Є два основних види графіків, що відображають динаміку системи. Перший, це простий графік часового ряду. Інший вид графіка не відображає час безпосередньо. Тому вісь, на якій ми відкладали час на першому вигляді графіка, може бути використана для будь-якої іншої змінної. Таким чином, новий вид графіка дозволяє зображати в тому ж просторі на одну змінну більше (замість часу). Точка на такому графіку відображає стан або фазу системи конкретний момент часу (також як, наприклад, фаза Місяця). Час можна виявити лише у відносному сприйнятті за послідовністю точок, тобто в тому, як система переходить з одного стану в інший.

Простір у такому вигляді графіка має спеціальну назву: фазовий простір або простір станів. Формально, такий N - мірний простір називається фазовим простором, його координати – фазовими координатами, а сімейство фазових траєкторій, які відображають зміни стану системи – фазовим портретом. Фазовий портрет досліджуваної системи можна будувати на основі експериментальних даних. Якщо система описується двома змінними, фазовий простір має два виміри, причому кожній змінній відповідає один вимір. У цьому випадку фазовий простір являє собою фазову площину, тобто прямокутну систему координат, на осях якої відкладаються значення цих двох змінних.

Діагностична цінність методу полягає у використанні додаткової інформації, що міститься у швидкісних характеристики досліджуваного процесу. Тим самим створюються передумови для підвищення чутливості і

116

специфічності діагностичного обстеження, що знайшло експериментальне підтвердження в дослідженнях, про які піде мова далі.

Векспериментальних дослідженнях операторської діяльності, пов’язаної

зопрацюванням інформації наданої на моніторі у вигляді послідовності, статистично однорідних за тлом, зображень з об’єктами пошуку заданого класу, отримані результати подані часовим рядом, зображеним на рис. 1.

Значення рівнів [ms]

Часовий ряд оператора Оп-3

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

1	11	21	31	41	51	61	71	81	91	101
				Номери рівнів

Рис. 1. Індивідуальний часовий ряд.

За допомогою табличного процесора MS Excel 2003, будуємо фазовий портрет, даного часового ряду, зображений на рис. 2, використовуючи Майстер діаграм і вкладку Стандартна, на якій вибираємо опцію – Точкова діаграма зі значеннями з’єднаними згладжуючи ми лініями. Такий фазовий портрет складається з окремих циклів, які можна виділити шляхом ковзного вікна.

117

		Фазовий портрет оператора Оп-3
	1200
значення	1000
	800
Диференційовані	600
	400
	200
	0
	0	500	1000	1500	2000	2500	3000
	-200
			Оригінальні значення рівнів
Рис. 2. Фазовий портрет на основі індивідуального часового ряду.

Оскільки, в локалізації траєкторій фазового портрету спостерігається хаотичність, яка означає, що фактично даний ряд не містить циклів в повному розумінні цього терміну, а лише подібні траєкторії, які називають квазіциклами. В даному підході квазіциклом є опукла траєкторія, початок і кінець якої знаходяться в околі найменш можливого радіусу.

Розбиття фазового портрету на квазіцикли можна здійснити візуально, використовуючи зображення фазового портрету побудованого на перших чотирьох парах значень – значення оригінального ряду та відповідного йому значення диференційованого. Пересуваючи таке вікно і змінюючи його розмір необхідно добитися максимальної замкненості контуру квазіциклу за мінімальної кількості вузлів.

118

Рис. 3. Розбиття фазового портрету на квазіцикли.

Основними умовами для виділення квазіциклів є такі:

-мінімальна кількість вузлів – чотири;

-значення початкового і кінцевого рівнів, як оригінального так і зсунутого ряду повинні бути близькими, тобто різниця між ними має бути мінімальною для даного фрагмента ряду (умова необхідна, але недостатня);

Вигляд квазіциклу значень , що охоплені рамкою, зображено на рис. 3. Квазіцикли можуть бути таких видів:

-початкова і кінцева точки квазіциклу знаходяться на мінімально можливій відстані, такій, що заміна їх на сусідні, в ту чи іншу сторону, веде до збільшення цієї відстані;

-з’єднуючі згладжуючи лінії або відрізки можуть перетинатися, проте мають забезпечити забезпечуючи вимоги з п. 1;

-квазіцикли можуть містити артефакти у вигляді петель, заглиблень

тощо;

-відповідати рухові за або проти годинникової стрілки.

119

	11-й квазіцикл Оп-3
1200
1000
800
600
400
200
600	800	1000	1200	1400	1600
	2-й квазіцикл Оп-10

800

600

400

200
500	600	700	800	900	1000

	1-й квазіцикл Оп-10
800
700
600
500
400
300
200
600	700	800	900	1000		1100
	19-й квазіцикл Оп-8
500
400
300
200
300	350	400	450	500	550	600

Рис. 3. Вигляд квазіциклів.

Квазіцикли, отримані в результаті розбиття фазового портрету мають такі характеристики: кількість вузлів – точок фазової площини, що утворюють даний квазіцикл, розмір мінімальної прямокутної області покриття квазіциклу, координати центру цієї області, півпериметр області покриття, її площі та орієнтації. Ці характеристики дають підстави для інтерпретації та побудови моделі динамічної структури індивідуального часового ряду, а відтак і ідентифікувати операторський персонал.

Квазіцикли не обов’язково слідують один за одним і відстань між ними може бути в декілька послідовних рівнів.

Розбиття часового ряду на квазіцикли показує, що квазіцикли переважно містять від 4 до 8 точок, які називають вузлами. Фактично точки з’єднуються прямими відрізками, проте для кращої візуалізації їх згладжують або апроксимують сплайнами. Для ідентифікації індивідуальних часових рядів використовують діаграми (гістограми) кількості вузлів, зображені на рис. 4.

120