2. Кореляційне поле і кореляційні таблиці. Встановлення форм зв'язку. Побудова рівнянь зв'язку. Визначення параметрів рівняння зв’язку. Криволінійна регресія.

Кореляційним полем називається графічне зображення статистичних показників, що дає уявлення про наявність зв'язку між досліджуваними ознаками. При побудові кореляційного поля на горизонтальній осі відкладають значення факторної ознаки (х), а на вертикальній - значення результативної ознаки (у). відклавши на перетині відповідних значень х і у точки, дістають кореляційне поле. За характером розміщення точок на кореляційному полі роблять висновок про напрям і форму зв'язку. Якщо точки безладно розміщені по всьому полю, то це свідчить про те, що залежності між досліджуваними ознаками немає.

Характер розподілу точок по кореляційному полю вказує на наявність, форму та напрямок залежності між факторною та результативною ознаками.

За допомогою графіка роблять висновок про вибір типу математичного рівняння для кількісної оцінки зв'язку (побудови регресійної моделі за функцією (рівнянням регресії).

Кореляційна таблиця - розташування вихідних даних у табличній формі для встановлення кореляційного зв'язку між змінними х та у у формі дискретного розподілу.

Для відповіді на питання про наявність або відсутність кореляційного зв'язку використовують ряд специфічних методів:

• елементарні прийоми (паралельне порівняння рядів значень факторної і результативної ознак, балансовий метод, графічне зображення, метод аналітичного групування);

• дисперсійний аналіз;

• кореляційно-регресійний аналіз.

У кореляційно-регресійному аналізі оцінка лінії регресії здійснюється не в окремих точках, як в аналітичному групуванні, а в кожній точці інтервалу зміни факторної ознаки х. Тобто лінія регресії у даному випадку безперервна і зображується у вигляді певної функції Y = f(х) (13), яка називається рівнянням регресії, а Y - це теоретичні значення результативної ознаки.

Різні явища по-різному реагують на зміну факторів. Для того, щоб відобразити характерні особливості зв'язку конкретних явищ, статистика використовує різні за функціональним видом регресійні рівняння. Якщо зі зміною фактора х результативне змінюється більш-менш рівномірно, такий зв'язок описується лінійною функцією У = а + bх (14). При нерівномірному співвідношенні варіацій взаємозв'язаних ознак (наприклад, коли прирости значень у зі зміною х прискорені чи сповільнені або напрям зв'язку змінюється), використовують нелінійні регресії, зокрема:

степеневу: (15)

гіперболу: (16)

параболу: (17)

Вибір та обґрунтування функціонального виду регресії ґрунтується на теоретичному аналізі суті зв'язку. Припустимо, що вивчається зв'язок між урожайністю та кількістю опадів. Надто мала і надто велика кількість опадів спричиняють зниження урожайності, максимальний її рівень можливий за умови оптимальної кількості опадів, тобто зі збільшенням факторної ознаки (опади) урожайність спершу зростає, а потім зменшується. Залежність такого роду описується параболою .

Вивчаючи зв'язок між собівартістю у та обсягом продукції х, використовують рівняння гіперболи , де а - пропорційні витрати на одиницю продукції, b - постійні витрати на весь випуск.

Слід зауважити, що теоретичний аналіз суті зв'язку, хоча й дуже важливий, лише окреслює особливості форми регресії і не може точно визначити її функціональний вид. До того ж у конкретних умовах простору і часу межі варіації взаємопов'язаних ознак x і у значно вужчі за теоретично можливі. І якщо кривизна регресії невелика, то в межах фактичної варіації ознак зв'язок між ними досить точно описується лінійною функцією. Цим значною мірою пояснюється широке використання лінійних рівнянь регресії:

Y=a±bx

Параметр b (коефіцієнт регресії) - величина іменована, має розмірність результативної ознаки і розглядається як ефект впливу х на у. Параметр а - вільний член рівняння регресії, це значення у при х = 0. Якщо межі варіації х не містять нуля, то цей параметр має лише розрахункове значення.

Параметри рівняння регресії визначаються методом найменших квадратів, основна умова якого - мінімізація суми квадратів відхилень емпіричних значень у від теоретичних Y:

(18)

Математично доведено, що значення параметрів а та b, при яких мінімізується сума квадратів відхилень, визначається із системи нормальних рівнянь.

(19)

Розглянемо порядок обчислення параметрів лінійної регресії за даними про вартість основних виробничих фондів та обсяг валової продукції на 10 підприємствах галузі (табл. 10.7).

Передбачаючи лінійний зв'язок між вартістю основних виробничих фондів та випуском продукції, виражаємо залежність між цими показниками рівнянням прямої і визначаємо його параметри методом найменших квадратів із системи нормальних рівнянь:

Розрахунки наведених в системі рівнянь сум виконуємо в табличній формі:

Підставимо в систему нормальних рівнянь фактичні дані із таблиці.

Розв'язуємо систему нормальних рівнянь в такій послідовності:

1. домножимо кожний член першого рівняння на число, яке дасть змогу зрівняти коефіцієнти при а;

2. віднімаємо від другого рівняння перше і одержуємо значення b.

3. підставляємо значення в перше рівняння, одержимо значення а.

Коефіцієнт b показує, що кожен пункт зміни значення x дає приріст (зниження) в середньому на значення b.

Параметр b може набувати від'ємного значення, що свідчить про наявність оберненого зв'язку між показниками.

Рівняння регресії відбиває закон зв'язку між х і у не для окремих елементів сукупності, а для всієї сукупності в цілому; закон, який абстрагує вплив інших факторів, виходить з принципу "за інших однакових умов".

Після визначення параметрів рівняння регресії розраховуємо теоретичну лінію регресії шляхом підстановки в рівняння кореляційного зв'язку значень х.

Якщо параметри рівняння зв'язку визначені правильно, то (20).

Поряд із визначенням характеру зв'язку та ефектів впливу факторів х на результат у важливе значення має оцінка щільності зв'язку, тобто оцінка узгодженості варіації взаємопов'язаних ознак.

Визначення і кількісна оцінка взаємозв'язку між двома статистич­ними ознаками за допомогою парної кореляції є дійовим засобом ста­тистичного аналізу. Проте соціально-економічні процеси і явища формуються під впливом не одного, а багатьох факторів. Наприклад, на урожайність сільськогосподарських культур впливають метеоро­логічні умови, кількість внесених добрив, сорт, строки сівби тощо. Продуктивність тварин залежить від рівня і якості годівлі, породи, способів утримання тварин, процесів відтворення стада тощо.

Кореляцію, за допомогою якої вивчається вплив на результативну ознаку двох і більше взаємозв'язаних факторних ознак, називають множинною. При вивченні множинної кореляції можна застосовувати як прямолінійні, так і криволінійні рівняння регресії.

Багатофакторні регресійні моделі дають змогу оцінювати вплив на досліджувану результативну ознаку кожного окремого із включе­них у рівняння факторів при фіксованому значенні (на середньому рівні) інших факторів. При цьому важливою умовою множинної коре­ляції є відсутність функціонального зв'язку між факторами.

Важливе значення при множинній кореляції має вибір форми зв'язку і відповідного математичного рівняння множинної регресії. Вибір типу функції має грунтуватися на теоретичному аналізі досліджуваного явища або на досвіді попередніх аналогічних досліджень. Враховуючи, що будь-яку функцію багатьох змінних можна звести до лінійного виду логарифмуванням, рівняння множинної регресії частіше будують у лінійній формі.

Формула лінійного рівняння множинної регресії має такий вигляд:

Ух = ^ао + ^а\^хі + ^а2*2 + • • ■ + а_пх_п,

де у_х — теоретичні значення результативної ознаки; а₀, %, а₂... ...а_п—параметри рівняння; х_г, х₂...х_п—факторні ознаки.

Окремі коефіцієнти регресії цього рівняння характеризують вплив відповідного фактора на результативний показник при фіксованому (елімінованому) значенні інших факторів. Вони показують, наскільки змінюється результативний показник при зміні відповідного фактора на одиницю. Вільний член рівняння (а₀) не має економічного змісту і не інтерпретується.