12.2. Численные методы решения задачи Коши для оду первого порядка. Методы Эйлера
Дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида:
F(x,y,у')=0 или у'=f(x,y). (12.4)
В первом случае задан общим вид ОДУ первого порядка, во втором оно представлено в виде, разрешенном относительно старшей производной.
Так как при n =1 дополнительное условие единственное, то оно задается в одной точке и задача поиска единственного решения формулируется в виде задачи Коши. Рассмотрим второй вариант постановки задачи (12.4) при уравнении, разрешенном относительно старшей производной.
Постановка задачи. Найти численное решение ОДУ первого порядка
у' = f(x,y) (12.5)
на отрезке [а, b] при дополнительном условии: y(а)=y0.
В качестве численного решения принимаем табличное задание искомой функции y(x) на равномерной сетке на отрезке [а, b] с постоянным шагом h = (a-b)/n, в которой:
n - число частных отрезков,
узлы сетки: i = 0,1,...,n-1, a = x0 < x1 <...< b = xn, xi = a+ih;
шаг разбиения постоянен: h=(b-a)/n.
В итоге решения должна быть построена таблица
|
xi |
x0 |
x1 |
… |
xn |
|
yi |
y0 |
y1 |
… |
yn |
т.е. ищутся приближенные значения функции y(xi) в узлах сетки xi.
Умножая обе части на dx и интегрируя обе части уравнения (12.5) на частном отрезке [хi, хi+1], получим
(12.6)
Основная проблема решения (12.6) заключается в том, что в правой части его стоит интеграл от неявной функции по х и у(х). Численные методы решения ОДУ (12.5) различаются способом приближенного расчета этого интеграла - его аппроксимацией.
Простейшим вариантом численного решения полученного соотношения (12.6) является численное интегрирование правой части при помощи формулы левых прямоугольников:
(12.7)
которое даст при подстановке в (12.3) явную формулу Эйлера:
уi+1 = уi + hf(хi, yi), i = 0,1,...,n-1. (12.8)
Порядок расчетов при численном решении:
1) зная х0, y0, f(х0, y0), находим у1 = у0 + hf(х0, y0), затем
2) у2 = у1 + hf(х1, y1) и т.д.
Геометрическая интерпретация метода Эйлера (рис.12.1). Пользуясь тем, что в точке x0 известно решение y(x0) = y0 и значение его производной y (x0) = f(х0, y0),можно записать уравнение касательной к графику искомой функции y = y(x) в точке (х0, y0): y= y0 + f(х0, y0)( х - х0). При достаточно малом шаге h ордината y1 = y0 + f(х0, y0)( х - х0) этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения х1 = х0 + h , должна мало отличаться от ординаты y(x1) точного решения y(x) задачи Коши. Следовательно, точка (х1, y1) пересечения касательной с прямой x = x1 может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую y = y1 + f(х1, y1)( х - х1), которая приближенно отражает поведение касательной к y = y(x) в точке (х1, y1). Подставляя сюда х2 = х1 + h (т.е. пересечение с прямой x = x2), получим приближенное значение y(x) в точке x2: у2 = у1 + hf(х1, y1) и т.д.
Рис.12.1. Геометрическая интерпретация метода Эйлера
Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности (О(h1)), т.е. с уменьшением h в 10 раз точность результата повышается тоже в 10 раз.
Применение при интегрировании правой части уравнения (12.6) формулы правых прямоугольников:
приводит к методу
уi+1 = уi + hf(хi+1, yi+1), i = 0,1,...,n-1. (12.9)
Этот метод называют неявным методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения уi+1 = у(хi+1) по известному значению уi у(хi) требуется решать уравнение, в общем случае достаточно сложное, нелинейное.
Неявный метод Эйлера имеет также первый порядок точности - О(h1).
Вопросы для проверки знаний.
1. Какие уравнения называют обыкновенными дифференциальными (ОДУ), что называют порядком ОДУ ?
2. Какую форму представления ОДУ называют уравнением, разрешенным относительно старшей производной ?
3. Какие функции называют общими решением ОДУ ?
4. Какой вид имеют общие решения ОДУ и каким образом можно получить на их основе частное решение ОДУ ?
5. Что называют точным (аналитическим) решением ОДУ ?
6. В чем заключается численное частное решение ОДУ ?
7. Какие существуют на основе ОДУ два типа задач, предусматривающих получение единственного решения ОДУ ?
8. Какую задачу называют задачей Коши и что называют в ней начальными условиями ?
9. Какую задачу называют краевой и что называют в ней краевыми или граничными условиями ?
10. Какие уравнения называют дифференциальными уравнениями первого порядка, сколько для них задается дополнительных условий ?
11. В какой форме определяется численного решение дифференциального уравнения первого порядка ?
12. Каким образом выводят явную формулу Эйлера решения дифференциального уравнения первого порядка ?
13. В чем заключается геометрическая интерпретация явного метода Эйлера ?
14. Какой порядок точности имеет явный метод Эйлера ?
15. Что называют неявной формулой Эйлера решения дифференциального уравнения первого порядка, в чем ее основной недостаток ?