Используя известное соотношение из теории бесселевых функций, можно также представить полученные интегралы в следующем виде:

iIl

∞ i κ

1

z−z

ε

κ

1

−ε κ

2

i κ

(z+z ) k

H (1)(k

ρ)dk

A1z =

∫ e

s

+

2

1

e

1

s

0

,

(3.95)

8π

ε

2

κ

1

+ε κ

2

κ

1

−∞

1

iIl ε2

∞

i κ1zs −i κ2z

A2 z =

∫

e

e

k H 0(1)(k ρ)dk .

(3.96)

4π

ε κ

1

+ε κ

2

−∞

2

1

Полученные выражения дают строгое решение задачи Зоммерфельда в интегральной форме. Пригодные для практических расчетов формулы могут быть получены с использованием некоторых приближений. Наиболее удобным оказалось приближение Леонтовича. Оно основано на том, что в широком диапазоне длин волн в земных условиях

ε2 = ε' + i ωεσ0 >> ε1 ≈ 1 .

(3.97)

Воспользуемся этим условием и положим

κ	2	=	k2ε	2	−k2	≈ k	ε	2	= k .	(3.98)
			0			0			2

При этом предположении поле в нижнем полупространстве можно представить в виде

iIl

∞

ei κ1zs

(1)

−ik

z

A2 z =

∫

k H 0

(k ρ)dk e

2

.

(3.99)

4π

κ

1

+k η

−∞

1

Здесь введен приведенный поверхностный импеданс

η =	ε1 .	(3.100)
	ε2

Из выражения (3.99) видно, что поле в нижнем полупространстве представляет собой распространяющуюся вертикально вниз плоскую волну. Используя это выражение и граничные условия для векторного потенциала, нетрудно получить приближенные граничные условия импедансного типа (граничные условия Леонтовича), связывающие вертикальную составляющую векторного потенциала и его производную на границе раздела сред

dA1z	+ ik ηA	= 0 при z = 0.	(3.101)
dz	1 1z

Использование приближенного граничного условия Леонтовича позволяет решить задачу об излучении источника, расположенного вблизи границы раздела двух сред, не вычисляя поля в нижнем полупространстве.