Линейная алгебра.
1)Матрицы. Основные определения. Транспонирование матриц.
2)Линейные опрации над матрицами. Свойства.
3)Умножение матриц. Свойства.
4)Линейная зависимостьи независимость матриц-строк и матриц-столбцов.
5)Определители n-го порядка. Их свойства.
6)Системы линейных уравнений. Основные определения.
7)Метод Крамера.
8)Обратная матрица. Решение простейших матричных уравнений. Матричный метод решения систем ленейных уравнений.
9)Ранг матрицы. Базисный минор.
_____________Вопрос №1 Линейная алгебра.__________________________________
1) ----------Матрицы. Основные определения.-------------
составленная из m·n чисел, называется матрицей из m строк
и n столбцов или матрицей размера m×n, а также m×n-матрицей.
Числа aij (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) называются элементами матрицы;
первый индекс i указывает номер строки, в которой стоит элемент
матрицы, а второй индекс j - номер столбца.
Матрица (1) может обозначаться также |aij| , i=1,2,...,m; j=1,2,...,n.
Кроме того, для матриц используются обозначения
или (aij) ;
или [aij] . Если число строк матрицы равно числу ее столбцов (и равно n),
то матрица называется квадратной матрицей (порядка n).Две матрицы
|aij| и |bij| называются равными, если числа их строк и столбцов
соответственно равны и равны числа, стоящие на соответствующих местах:
aij=bkl при l=k и j= l
Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение
матрицы на число, сложение матриц и умножение матрицы.
Единичная матрица.
Квадратная матрица, все диагональные элементы которой равны единице,
а остальные - нули, называется единичной и обозначается
E (или En, где n - ее порядок,|ij|, где i,j=1,2,...,n. Символ ij имеет специальное
название - "символ Кронекера'').Для любой квадратной матрицы A порядка
n справедливо равенство En·A=A·En=A Матрицы |aij| порядка n, у которых aij=0 для
всех i/=j , т.е. матрицы вида
называются диагональными элементами матрицами
(об элементах a11,a22,...,ann также говорят, что они стоят на главной диагонали).
Свойство диагональных матриц.
Сумма и произведение двух диагональных матриц - также диагональные матрицы,
---------------Транспонирование матриц. --------------
Пусть A=|aij|- матрица размера m×n: A=|aij|
Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется
транспонированной матрицей по отношению к матрице A и обозначается AT.
Квадратная матрица A называется симметрической, если AT=A, и кососимметрической,
если AT=−A Элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали,
у симметрической матрицы равны, а у кососимметрической противоположны.
Все диагональные элементы кососимметрической матрицы равны нулю.
Транспонированная матрица — матрица AT, полученная из исходной матрицы A заменой
строк на столбцы. Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров —
матрица AT размеров , определённая как AT[i, j] = A[j, i]. Например,
и
Свойства транспонированных матриц
Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц
При транспонировании можно выносить скаляр.
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
2) Линейные операции над матрицами.
1. Сложение матриц.
Определение 3.4. Суммой матриц А и В одинаковой размерности m х n называется
матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов
матриц
А и В, стоящих на тех же местах:
Свойства сложения:
1. А + В = В + А.
2. (А + В) + С = А + (В + С) .
3. Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А
Пример.
2. Умножение матрицы на число.
Свойства умножения матрицы на число:
1. (km)A=k(mA).
2. k(A + B) = kA + kB.
3. (k + m)A = kA + mA.
Пример.
.
Тогда
Перемножение матриц.
Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых.
Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей
сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.
Определение. Произведением матрицы А размерности m х p и матрицы В размерности p х n
называется матрица С размерности m х n , каждый элемент которой определяется формулой:
Таким образом,
элемент Cij
представляет
собой сумму произведений
элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Пример.
. При этом существует
произведение АВ, но не существует
произведение ВА.
Размерность матрицы С=АВ составляет 2 х 3 Найдем элементы матрицы С:
Итак,
Теорема (без доказательства). Определитель
произведения двух квадратных матриц
равен
произведению их определителей. Замечание. Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. AB не равно BA
Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения
размерностей (см. предыдущий пример). Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности
(еслиm не равно n ).Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую
размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны. Однако в некоторых случаях произведения
АВ и ВА совпадают. Рассмотрим произведение квадратной матрицы А на единичную матрицу Е того же порядка:
Тот же результат получим и для произведения ЕА. Итак, для любой квадратной матрицы А АЕ = ЕА =А.
Обратная матрица.
Определение
3.7. Квадратная матрица А называется
вырожденной, если
, и невырожденной,
если
Определение 3.8. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка,
если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается A-1 . Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к
данной, и способ ее вычисления.
Теорема. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была
невырожденной.
Доказательство.
-
Необходимость: так как
то
(теорема 1), поэтому
2) Достаточность: зададим матрицу A-1 в следующем виде:
Тогда любой элемент произведения A* A-1 (или A-1 *A ), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений
элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и,
следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали,
равны
Таким образом,
. Теорема доказана.
Замечание. Сформулируем еще раз способ
вычисления
обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А,
деленные на ее определитель.
Пример.
Найдем матрицу,
обратную к
следовательно,
матрица А невырожденная. Найдем
алгебраические
дополнения
к ее элементам:
Не забудем, что алгебраические
дополнения
к элементам строки матрицы А образуют
в обратной матрице столбец с тем же
номером. Итак,
Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению A-1 Найдем
Тот же результат получим и при перемножении в обратном порядке.
Решение линейных
систем с помощью обратной матрицы.Рассмотрим
линейную систему
и введем следующие
обозначения:
- столбец неизвестных,
- столбец свободных
членов.
Тогда систему (2.3) можно записать в виде матричного уравнения: АХ = В (3.1) Пусть матрица А – невырожденная, тогда существует обратная к ней матрица A-1
Умножим
обе части равенства (3.1) слева на A-1
Получим
Но
тогда
, а поскольку
(3.2)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3)[править] Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций
над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения,
называется произведе́нием ма́триц Свойства
Сочетательное свойство:
Распределительное свойство:
.
Произведение
матрицы на единичную
матрицу
подходящего порядка равно самой матрице:
Произведение
матрицы на нулевую
матрицу
подходящей размерности равно нулевой матрице:
Если
и
—
квадратные одного и того же порядка, то
произведение матриц обладает ещё рядом свойств.
Умножение матриц в целом некоммутативно:
Если
,
то матрицы
и
называются
перестановочными или коммутирующими между собой.
Определитель и след произведения не зависят от порядка
умножения матриц:
