- •Пример. Вычислить сумму .
- •Домашнее задание 1.
- •Занятие 2. Метод математической индукции.
- •Пример 1. Доказать, что сумма первых n нечётных чисел () равна .
- •Пример 2. Найти все натуральные числа n, для которых верно неравенство
- •Задачи.
- •Домашнее задание 2.
- •Занятие 3. Элементы комбинаторики. Формула бинома Ньютона.
- •Пример . Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?
- •Задачи.
- •Домашнее задание 3.
- •Занятие 4. Действительные и комплексные числа.
- •Задачи.
- •Домашнее задание 4.
- •Занятие 5.Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Задачи.
- •Домашнее задание 5.
- •Занятие 6. Многочлены и рациональные дроби.
- •Пример 1. Решить уравнение .
- •Пример 2. Решить уравнение .
- •Пример 3. Записать многочлен в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами.
- •►1) По формуле (3) представим: .
- •Задачи.
- •Домашнее задание 6.
- •Занятие 7. Функции и последовательности. Задачи
- •Домашнее задание 7.
- •Занятие 8. Предел последовательности. Задачи
- •Домашнее задание 8.
- •Занятие 9. Доказательство пределов. Задачи
- •Домашнее задание 9.
- •Занятие 10. Контрольная работа №1. Самоподготовка.
- •Занятие 11. Предел функции. Задачи
- •Домашнее задание 13.
- •Занятие 14. Сравнение функций. Вычисление пределов. Задачи
- •Домашнее задание 14.
- •Занятие 15. Производная, дифференциал, геометрический смысл. Задачи
- •Домашнее задание 15.
- •Занятие 16. Дифференцирование композиции. Задачи
- •Домашнее задание 16.
- •Домашнее задание 18.
- •Занятие 21. Неопределённый интеграл.
- •Домашнее задание 21.
- •Домашнее задание 28.
- •Занятие 29. Длина кривой. Объём тела вращения. Задачи
- •Домашнее задание 30.
- •Занятие 31. Контрольная работа №3. Самоподготовка.
Занятие 16. Дифференцирование композиции. Задачи
16.1. Сделать на доске задание 15.11.
16.2. Вычислить производные следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 5) 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) , ; 12) ,, .
16.3. Найдите производную функции в точке , если: 1) , =0; 2) , =.
16.4. Для функции вычислите и .
16.5. Исследуйте, является ли функция в точке : а) непрерывной; б) диффе ренцируемой?
16.6. Определите, при каких и функция является: а) везде непрерывной; б) везде дифференцируемой. Для этих значений и найдите производные этой фунции.
Домашнее задание 16.
16.7. Вычислить производные следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;
6) , ; 7) ;
8) ; 9) , .
16.8. Найдите производную функции в точке .
16.9. Для функции вычислите и .
16.10. Исследуйте, является ли функция в точке : а) непрерывной; б) диффе ренцируемой?
16.11. Определите, при каких и функция является: а) везде непрерывной; б) везде дифференцируемой. Для этих значений и найдите производные этой фунции.
Занятие 17.
Дифференцирование обратных, неявных
и параметрических функций.
Задачи
17.1. Найдите производную функции, обратной к функции: 1); 2) в точке .
17.2. Найдите производную функции, заданной неявно: 1) ; 2) .
17.3. Найдите производную функции, заданной параметрически: 1) 2)
17.4. Найдите в точке дифференциал функции , заданной параметрически
17.5. Покажите, что функция , заданная неявно уравнением , удовлетворяет уравнению .
17.6. Найдите для функции , заданной в полярных координатах (спираль Архимеда).
17.7. Под каким углом пересекаются кривые и в точке ?
17.8. Для данной кривой в данной точке составьте уравнения касательной и нормали: 1) , ; 2) , , .
Домашнее задание 17.
17.9. Для данной кривой в данной точке составьте уравнения касательной и нормали: 1) , ; 2) , , .
17.10. Определите, в какой точке и под каким углом пересекаются кривые: 1) и ; 2) и .
17.11. Найдите дифференциал функции в данной точке: 1) , ; 2) , ; 3) , , .
Занятие 18.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Правило Лейбница.
Задачи
18.1. Докажите, что функция удовлетворяет уравнению .
18.2. Вычислите дифференциал второго порядка функции в точке .
18.3. Найдите для функции, заданной: 1) параметрически , ; 2) неявно .
18.4. Найдите і , если и – известные функции от , если: 1) ; 2) ; 3) .
18.5. Найдите для функции .
18.6. Найдите для функции .
18.7. Найдите функции .
18.8. Найдите (, , , , , , , – считаются известными) для функции .
Домашнее задание 18.
18.9. Докажите, что функция удовлетворяет уравнению .
18.10. Вычислите дифференциал второго порядка функции в точке .
18.11. Найдите для функции, заданной: 1) параметрически , ; 2) неявно .
18.12. Найдите і , если и – известные функции от , если .
18.13. Найдите для функции .
18.14. Найдите для функции .
18.15. Найдите функции .
18.16. Найдите (, , , , , , , – считаются известными) для функции .
Занятие 19. Правило Лопиталя.
Задачи
19.1. Найдите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ,; 5) ; 6) .
19.2. Найдите пределы, преобразовав предварительно выражения: 1) ; 2) ; 3) ,, .
19.3. Найдите пределы при помощи формулы : 1) ; 2)
19.4. Найдите: 1) ; 2) ; 3) .
Домашнее задание 19.
19.5. Найдите: 1) ,, ; 2) ; 3) ; 4) .
19.6. Найдите пределы, преобразовав предварительно выражения: 1) ; 2) .
19.7. Найдите пределы при помощи формулы : 1) ; 2) .
Занятие 20. Контрольная работа №2. Самоподготовка.
1) Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
2) Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
3) а) При каких функция непрерывна в точке ? б) Существует ли значение , при котором функция непрерывна в точке ? в) Существуют ли значения и , при которых функции и непрерывны на своих областях определения?
4) Вычислите производную: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
5) Напишите уравнения касательной и нормали к кривой : а) в точке ; б) в точке ; в) в точке .
6) Найдите: а) –ю производную функции ; б) для функции .