2.2. Типовые примеры выполнения заданий

Наиболее простыми и часто встречающимися являются задачи о типичности средних в распределениях. Обычно задания формулируются примерно таким образом.

Типовой пример 1. По данным, приведенным в табл.13, определить, в какой из групп содержится наиболее типичная средняя, то есть в каком распределении более ровная успеваемость студентов.

Таблица 13

Успеваемость двух студенческих групп

Оценка на экзамене, балл	Численность студентов в группе
	ЭУП-1	ЭУП-2
2	3	0
3	6	7
4	9	16
5	7	2
Итого	25	25

Найдем среднюю оценку, полученную на экзамене студентами групп. Данные сгруппированы по оценкам, поэтому для вычисления средней оценки будем использовать формулу средней арифметической взвешенной:

.

Средняя по 1 группе:

Средняя по 2 группе:

Средняя оценка в группах получилась одинаковой. Но этим показателем ограничиваться нельзя, так как оценка стабильности успеваемости является также одной из важных задач высшей школы. Оценить эту характеристику поможет вычисление показателей вариации.

Для сравнения колеблемости признаков в искомых рядах распределения, когда сравнивается вариация одного и того же признака в различных совокупностях, будем использовать коэффициент вариации.

Изначально найдём величину среднего квадратического отклонения – величину, показывающую амплитуду колебания признака в центральной зоне ряда.

Среднее квадратическое отклонение в 1-й группе

Среднее квадратическое отклонение в 2- й группе

Таким образом, коэффициент вариации по первой группе равен

Коэффициент вариации по второй группе

Считается, что при выполнении неравенства < 40% совокупность является однородной, а средняя будет типичной величиной.

Поскольку в данном случае коэффициент вариации во 2-й группе меньше коэффициента вариации в 1-й группе, средняя оценка 2-й группы является более типичной величиной. Кроме того, средняя квадратическое отклонение (т.е. величина колеблемости признака) во 2-й группе меньше, чем в 1-й группе. Отсюда следует, что более ровная успеваемость студентов наблюдается во 2-й группе.

Типовой пример 2. Вычислим показатели вариации для интервального ряда по данным табл.14.

Таблица 14

Распределение менеджеров по возрасту

Возраст, лет (х)	Число менеджеров,f	Середина интервала(x’)	Произве-дение (x’f)	Отклонение (x’-)	(х’-)f	(x’-)^2	(х’-)^2f
20-22	5	21	105	-6,13	-30,65	37,58	187,91
23-25	6	24	144	-3,13	-18,78	9,80	58,80
26-28	3	27	81	-0,13	-0,39	0,02	0,05
29-31	4	30	120	2,87	11,48	8,23	32,94
32-34	2	33	66	5,87	11,74	34,45	68,90
Более 35	3	36	108	8,87	26,61	78,67	236,01
ИТОГО	23		624				584,61

Подсчитаем среднюю характеристику интервального ряда порапределения по возрасту с помощью средней арифметической взвешенной

Размах вариации для анализируемого ряда:

R = X_max –X_min = 36 - 21 = 15 лет.

Значение показателя дисперсии составит

.

Среднее квадратическое отклонение по возрасту будет вычислено так

Относительное значение коэффициента вариации

V = .

Полученное значение коэффициента вариации свидетельствует о типичности средней характеристики ряда и применимости прочих абсолютных показателей вариации исследуемых данных.

Типовой пример 3. Имеются выборочные данные о распределении населения области по размерам вклада в Сбербанке:

Размер вклада, руб.	До 100	100-200	200-300	300-40	400 и выше	Всего
Число вкладов	20	80	170	100	30	400

Требуется определить дисперсию размера вклада. Расчёты произведём в табличной форме (табл.15).

Таблица 15

Расчётная таблица

Размер вклада (х)	Число вкладов(f)	Середина интервала х'	Xi * fi	(Хi -)	(Хi -) * f
До 100	20	50	1000	44100	882000
100-200	80	150	12000	12100	968000
200-300	170	250	42500	100	17000
300-400	100	350	35000	8100	810000
400 и выше	30	450	13500	36100	1083000
Итого	400		104000	100500	3760000

Определим среднее значение интервального ряда распределения, используя в качестве величины признака значения середины интервалов.

Вычислим среднее значение размеров вкладам, дисперсию. и среднее квадратическое отклонение.

Полученные данные могут быть использованы при дальнейшем анализе коммерческой деятельности банков.

Типовой пример 4. Имеются данные о среднем размере вознаграждения лучшим работникам предприятия. Требуется рассчитать среднюю арифметическую, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации, предварительно упростив вычисления, то есть применить способ расчёта от условного нуля, уменьшая до предела значения вариант Х.

Исходная информация и расчёты приведены в табл.16

Таблица 16

Вознаграждение работникам предприятия

Размер вознаграждения,X	Кол-во работников,f	Х’	Х’f	(Х’)^2f
500	23	-2	-46	92
600	22	-1	-22	22
700	18	0	0	0
800	15	1	15	15
900	12	2	24	48
1000	10	3	30	90
ИТОГО	100		1	267

Рассчитаем средний размер вознаграждения с учётом замены значения признака Х на его условное значение Х’:

Определим дисперсию, предварительно рассчитав средний квадрат отклонений от произвольного числа – в нашем примере 700. Затем скорректируем полученный показатель на квадрат разности между средней арифметической и этим произвольным числом, т.е. применим формулу

σ² = σ₇₀₀² – ( -700)²;

Отсюда вычислим среднее квадратическое отклонение

Определим коэффициент вариации

=

Значение коэффициента вариации позволяет сделать вывод о типичности вычисленных статистических показателей.

Типовой пример 5. В учебном отделе проводится анализ результатов экзаменационной сессии. В частности, поставленная задача об успешно сдавших предметы студентах в зависимости от этапа обучения решалась следующим образом.

Отмечен процент студентов, сдавших экзамены на 4 и 5,

• на I курсе - 76%

• на II – 81%;

• на III – 85%;

• на IV – 90%;

• на V – 93%.

Были определены значения показателей дисперсии доли студентов, успешно сдавших сессии.

Так, при p₁ =0,76 и q₁ = 0,24 = p₁ q₁= 0,76·0,24=0,1824;

при p₂ = 0,81 и q₂ =0,19 = p₂ q₂ = 0,81 0,19 = 0,1539;

при p₃ = 0,85 и q₃ = 0,15 = p₃ q_{3 =} 0,85 0,15 = 0,1275;

при p₄ = 0,9 и q₄ = 0,1 = p₄ q₄ = 0,9 0,1 = 0,09;

при p₅ = 0,93 и q₅ = 0,07 = p₅ q₅ =0,93 0,07 = 0,0651.

Далее вычислялись значения среднеквадратических отклонений по курсам с использованием зависимости

.

Было получено:

σ₁ = 0,43; σ₂ = 0,39; σ₃ = 0,357; σ₄ = 0,3; σ₅ = 0,25.

Полученные значения вычисленного показателя вариации свидетельствует о том, что, на пятом курсе дисперсия и среднеквадратическое отклонение доли студентов, успешно сдавших сессию, меньше чем на предыдущих курсах, т.е. студенты старшего возраста учатся более стабильно.

Типовой пример 6. По данным об итогах результатов сессии в конце года, приведенным в табл.17, требуется рассчитать среднюю оценку учащихся в вузе, общую дисперсию и среднее квадратическое отклонение полученных оценок успеваемости студентов.

Таблица 17

Данные об итогах сессии

Курс (число лет обучения)	Число студентов, ni	Средняя оценка, хср	Среднее квадратическое отклонение средней оценки, σi
1	2000	3,8	0,43
2	1800	3,86	0,39
3	2400	3,75	0,357
4	1980	3,48	0,3
5	1640	3,89	0,25

Определим общую среднюю оценку

Общая дисперсия находится по правилу сложения дисперсий:

σ_о² = σ_м ² +

Межгрупповая дисперсия σ_м² характеризует степень колеблемости средних значений признака в каждой группе относительно общего среднего уровня и рассчитывается так:

где n – число групп, на которые разбита вся совокупность;

n_j – число признаков, включенных в группу j ;

– среднее значение признака по группе j;

– общее среднее значение признака.

Средняя из групповых дисперсий (δ²_j), т.е. величина () всех внутригрупповых дисперсий, определяется как

Итак, общая дисперсия выставленных оценок равна

σ_о² = σ_м ² + = 0,02+0,125=0,145.

Отсюда, среднее квадратическое отклонение оценок во всей совокупности студентов вуза

Данный типовой пример можно рекомендовать к использованию при расчёте отклонений доходов разных категорий лиц.

Резюме

В данной главе приведены типовые задачи, решаемые при оценке возможности применения средних характеристик. Показано, что для суждения о вариации признака используют ряд показателей. В примерах показан порядок расчёта среднего квадратического показателя:

- определяется средняя арифметическая ряда;

- находится отклонение каждого варианта от средней арифметической;

- каждое значение отклонения возводится в квадрат;

- все квадраты отклонений умножаются на соответствующие веса;

- произведения суммируются и делятся на сумму весов (частот), так получается дисперсия;

- извлекается корень квадратный из дисперсии, что представляет собой среднее квадратическое отклонение;

- для сравнения вариации в разных совокупностях рассчитывается относительный показатель вариации, представляющий собой процентное соотношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.

Если в совокупности исследуется доля единиц, обладающих тем или иным альтернативным признаком, то дисперсия этой доли равна произведению значений долей. Максимальное значение доли дисперсии равно 0,25.

Если совокупность разбита на группы по какому-либо факторному признаку и по каждой группе рассчитаны групповые средние и дисперсии определённого результативного показателя, то общая дисперсия последнего для всей совокупности равна сумме этой внутригрупповой и межгрупповой дисперсий.