22. Точки разрыва функции одной переменной.

См. вопросы 7,8 блок 2

Классификация точек разрыва функции.

Определение. Предельные точки области определения функции, в которых эта функция не является непрерывной, называются точками её разрыва.

1). Устранимый разрыв. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если  f(x), но f(x)  f(a) , либо в точке а функция f(x) вообще не определена.

2). Разрыв 1-го рода. Точка a называется точкой разрыва 1-го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правое и левое предельные значения:

или

3). Разрыв 2-го рода. Точка a называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних предельных значений или если хотя бы одно из них бесконечно.

23. Neopredelennyi integral I pervoobraznaya

Pervoobraznaya .Funkciya F(x) nazyvaetsya pervoobraznoi funkciei dlya funkcii f(x) na intervale (a,b), esli v lyuboi tochke x intervala (a,b) funkciya F(x) differenciruema i imeet proizvodnuyu F’(x), ravnuyu f(x).

Esli F₁(x) i F₂(x) –lyubye pervoobraznye dlya funkcii f(x) na intervale (a,b),to vsyudu na etom intervale F1(x)-F2(x)=C,gde C-nekotoraya postoyannaya.

Dok-vo: F(x)=F₁(x)-F₂(x). tak kak kajdaya iz funkcii differenciruema na intervale (a,b)=> F’(x)=F’₁(x)-F’₂(x)=f(x)-f(x)=0..tak kak F’(x)=0,funkciya F(x) yavlyaetsya postoyannoi na intervale (a,b).

Neopredelennyi integral. sovokupnost’ vseh pervoobraznyh funkcii dlya dannoi funkcii f(x) na intervale(a,b) nazyvaetsya neopredelennym integralom ot funkcii f(x) na etom intervale i oboznachaetsya ∫f(x)dx.

∫-znak integrala

f(x)dx-podintegralnoe vyrajenie

f(x)-podintegralnaya funkciya

Esli neopredelennyi integral dlya funkcii f(x) na intervale (a,b)

sushestvuet ,to podintegralnoe vyrajenie predstavlyaet soboy differencial lyuboi iz etih pervoobraznyh

24. Cвойства непрерывных функций, заданных на сегменте

См. вопрос 11 блок 2

25. Интеграл Римана.

Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.

Рассмотрим разбиение отрезка - kонечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков Длина наибольшего из отрезков δR =max(Δx_i), называется шагом разбиения, где Δx_i = x_i − x_i−1-длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется

выражение . Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b], т.е. .В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b].