1.7.3. Уравнения динамики

Переходные процессы в САУ определяются инерционностью (наличием массы, индуктивности, емкости) и аналитически могут быть описаны дифференциальными уравнениями вида (1.6),

где a_i,b_i – постоянные коэффициенты, решения которых состоят из двух частей: общего и частного.

Общее соответствует решению однородного дифференциального уравнения

(1.26)

Частное решение, будучи подставленным в левую часть уравнения (1.6), обращает его в тождество.

Общее решение определяет свободный процесс (свободное движение), под которым понимается изменение величины во времени при отсутствии внешних воздействий и ненулевых начальных условиях. Вид свободного процесса определяется только свойствами системы.

Частному решению соответствует вынужденный процесс, вид которого определяется как свойствами системы, так и видом воздействия.

Итак, полное решение уравнения (1.6) имеет вид:

(1.27)

где x_вых.с(t) – свободный процесс, x_вых.в(t) - вынужденный процесс.

Пример переходного процесса представлен на рис. 1.14.

Рис. 1.14. Графическая интерпретация вынужденной и свободных составляющих на примере включения электрической цепи с активным и индуктивным сопротивлениями (T = L / R)

Для анализа устойчивости системы необходимо знать свободный процесс (), который может быть представлен в виде

(1.28)

где n – порядок дифференциального уравнения;

С_к – постоянные интегрирования;

p_к – корни уравнения

(1.29)

Уравнение (1.30) называется характеристическим. С учетом (1.8) оно может быть представлено в обобщенном виде

(1.30)

Корни характеристического уравнения могут быть вещественными или комплексно-сопряженными (в частных случаях мнимыми или нулевыми).

Каждому вещественному корню в (1.28) соответствует слагаемое, изменяющееся по экспоненциальному закону. Например, если p_k=-α_k, то соответствующее слагаемое в (1.26) имеет вид

(1.31)

При -α_k > 0 экспонента (1.31) возрастающая, а при -α_k < 0 – затухающая (рис. 1.15).

-α_к > 0

а)

-α_к < 0

б)

Рис I.15. Графики свободной составляющей процесса, характеристическое уравнение которого имеет только вещественный корень -α_к

Каждой паре комплексно-сопряженных корней

p_k,k+1 =-α_k ± jω_k в (1.26) соответствует слагаемое вида

(1.32)

где A_k и ψ_k – начальная амплитуда и начальная фаза свободных колебаний, определяемые начальными условиями; ω_k – мнимая часть комплексного корня, определяющая частоту свободных колебаний;

-α_k – вещественная часть комплексного корня, определяющая затухание (-α_k < 0) или усиление (-α_k > 0) амплитуды свободных колебаний.

В частном случае при p_k,k+1=jω_k (α_k=0) свободные колебания (1.32) имеют неизменную амплитуду.

– α_к > 0 – α_к < 0 – α_к = 0

Рис I.16. Графики свободной составляющей процесса, характеристическое уравнение которого имеет комплексно-сопряженные корни -α_k ± jω_k

Итак, если все корни характеризующего уравнения имеют отрицательную вещественную часть, то свободный процесс является затухающим.

Вынужденный процесс при t=∞ (p=0) определяет установившийся режим. Из (1.5) следует:

т.е.

где k_n – коэффициент передачи системы.

Можно также показать, что при синусоидальном воздействии вынужденный процесс представляет собой синусоидальную функцию с той же частотой, но с другими амплитудой и фазой.

7