Розділ №1 Комплексна змінна і функція комплексної змінної

§ 1 Комплексні числа і дії над ними

1. Поняття комплексного числа. Дії над комплексними числами. Комплексним числом z називається впорядкованих пара дійсних чисел , над якими задані такі дії:

а) додавання: сумою двох комплексних чисел та називається таке число , для якого , . Справедливими є наступні закони: (комутативний), (асоціативний).

б) множення: добутком двох комплексних чисел та називається таке число , для якого , . Справедливими є наступні закони: (комутативний), (асоціативний).

в) порівняння: два комплексні числа та рівні тоді і тільки тоді, коли рівні відповідно їх дійсні та уявні частини, тобто коли і .

Перше число a пари називається дійсною частиною комплексного числа z і позначається через a = Re z, число b називається уявною частиною комплексного числа z, і позначається через b = Im z.

– двовимірна форма запису комплексного числа;

Зручною є алгебраїчна форма комплексного числа: , де і – уявна одиниця, тобто . , , , … . Число називають комплексно спряженим числом до числа .

Слід зауважити, що нерівностей комплексних чисел не існує.

Дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі:

;

;

.

2. Геометрична інтерпретація комплексного числа. Введемо перш за все поняття комплексної площини. Комплексна площина — це площина із осями декартової системи координат, де вздовж вісі абсцис відкладається дійсна частина комплексного числа і її відповідно називають дійсною віссю, а вздовж вісі ординат –уявна частина комплексного числа, її називають уявною віссю (див. рис.1).

Рис. 1 Комплексна площина.

Отже, на комплексній площині комплексні числа зображуються точками з координатами (дійсна частина, уявна частина).

– тригонометрична форма запису комплексного числа;

– дійсна частина комплексного числа;

– уявна частина комплексного числа;

– модуль комплексного числа , – аргумент комплексного числа , при і , при . Геометричний зміст модуля комплексного числа – це відстань від початку координат до точки на комплексній площині, що зображує дане комплексне число. Геометричний зміст аргументу комплексного числа полягає в тому, що це кут між додатною віссю ox і вектором проведеним від початку координат до точки z, що зображує дане комплексне число. .

Використовуючи формулу Ейлера: , отримаємо показникову форму запису комплексного числа: .

При додаванні (відніманні) доцільно використовувати алгебраїчну форму або двовимірну форму комплексного числа, а при множенні чи діленні чи – показникову форму:

;

.

3. Добування кореня із комплексного числа. Тригонометрична і показникова форми запису комплексного числа є зручними при розгляді таких арифметичних операцій як піднесення комплексного числа до цілої додатної степені та добування кореня з комплексного числа.

Піднесення до степеня комплексного числа, означає наступне: . Комплексне число називається коренем n-ї степені із комплексного числа z, якщо . Добування кореня із комплексного числа здійснюється за допомогою формули Муавра:

, де к = 0, 1, 2, … n-1.

При , , …, повторюються значення, що відповідають тому достатньо обмежитись найбільшим значенням .

Приклад: добути корінь з комплексного числа .

, ,

;

.

Рис. 2 Добування кореня з комплексного числа.

Обчислення аргументу комплексного числа:

1) z – число дійсне і додатне, тобто , (, );

2) z – число уявне і додатне, , (, );

3) z – число дійсне і від’ємне, , (, );

4) z – число уявне і від’ємне, , (, );

5) аргумент числа z = 0 є невизначеним.

, – права півплощина;

, – ліва півплощина.