3°. Плоскость в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Пусть плоскость проходит через т. и - некоторый вектор , тогда .

Условие перпендикулярности двух векторов в ортогональном базисе:

В ортогональном базисе коэффициенты А, В, С общего уравнения (8) можно ??? как коэффициенты векторной нормали.

Вектор нормали используется для решения задач нахождения угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью и т.д.

По аналогии с прямой на плоскости строится нормальное уравнение плоскости.

Пусть в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат задана плоскость . Проведем из начала координат ось .

Пусть т. N – это точка пересечения прямой l с плоскостью ,

Тогда произвольная т. М пространства 

Другими словами, , (16)

г

Рис.5.

де - единичный вектор, являющийся масштабным вектором оси l .

Рис.5.

, где - углы с осями .

Получаем нормальное уравнение плоскости: .

§ 17. Уравнение прямой в пространстве

1°. Уравнение прямой в произвольной аффиновой системе координат.

В предыдущем § было указано, что если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой. Поэтому в произвольной аффиновой системе координат уравнение прямой в следующем виде:

(1)

Плоскости и не параллельны. Условие не параллельности плоскостей и равносильно: (2)

Тогда система (1) при условии (2) представляет систему линейно независимых уравнений, совместную и имеет общее решение следующего вида: , (3)

где - частные решения (1), - ФСР соответствующей системы линейно ОУ.

Геометрически (3) означает, что т. , тогда  т. получается прибавлением к радиус-вектору т. некоторого коллинеарного вектора,

Таким образом, , по аналогии с прямыми на плоскости, является направляющим вектором прямой. Система уравнений (1), удовлетворяющая условию (2) называется общим уравнением прямой в пространстве. Уравнение (3) называется векторно-параметрическим уравнением прямой в пространстве.

Рис.6.

Можно переписать в виде: , (3’)

где - радиус-вектор т. , - направляющий вектор.

Перепишем уравнение (3): (4)

- параметрическое уравнение прямой в пространстве .

Если исключить из (4) параметр t получим: (5)

- каноническое уравнение прямой в пространстве, (5) – пропорция.

Пример. , значит прямая лежит в плоскости .

Если и равны нулю, то прямая лежит в плоскостях и , что означает есть линия пересечения плоскостей – прямая параллельная оси .

Если необходимо написать уравнение прямой, проходящей через две точки и .

- направляющий вектор

(6)

- уравнение прямой, проходящей через две точки.

Каждая прямая может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей.

Уравнение прямой (5) также можно рассматривать как пересечение двух плоскостей, каждая из которых определяет плоскость параллельную одной из координатных осей.

Утверждение 1. Если прямая l задана как пересечение двух плоскостей системой (1), то вектор (7)

Является направляющим вектором l.

Доказательство.

Отметим, что в силу условия (2) вектор , определенный по формуле (7) должен быть равен 2. Определитель следующего вида , разложим по 1^ой строке:

, в силу утверждения 1 из предыдущего параграфа, означает, что параллелен плоскостям и .

 параллелен и их пересечению  значит является направляющим вектором , ч.т.д.∎

Замечание. Если ?? прямоугольная декартова система координат, то

Являются векторами нормали для плоскостей и .

- направляющий вектор искомой прямой, а его координаты вычисляются по формулам (7).