1. Источники и классификация погрешностей

Численные методы относятся к основным методам решения задач математики и различных ее приложений.

Численные методы называются точными, если он дает принципиальную возможность после выполнения конечного числа операций над точными числами получить точное решение задачи.

Для большинства реальных задач точных методов решения вообще не существует или если они есть, то связаны с бесконечными вычислениями, поэтому основным инструментом вычислительной математики являются приближенные численные методы, приводящие обычно к приближенным результатам, даже при точных исходных данных и точных вычислениях.

Основные источники погрешностей

1. замена реальной задачи математической моделью

2. Затруднения в определении точных исходных данных (исследования космических тел)

3. Применение приближенных действий (вычислительные погрешности)

4. Арифметические действия над приближенными числами

5. Округление чисел

6. Ограниченность разрядной сетки вычислительных устройств.

Т.к. приближенные результаты решения задач бесполезны без информации о степени их точности, то в процессе вычислений обязательно следует вести учет погрешностей.

Пусть а – точное значение некоторой величины, - известное приближение к нему, тогда абсолютной погрешностью приближения, называется величина ()|- а |. По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения характеризуется величиной относительной погрешности.

Относительной погрешностью называется величина () равная отношению абсолютной погрешности приближения к модулю этого приближения. ()=| (-a)/| или ()=()/| |

Относительную погрешность часто выражают в %, для чего полученный результат умножают на 100%

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи начиная с первой не нулевой слева. Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда соответствующего этой цифре () в противном случае цифра называется сомнительной. Если все значащие цифры верные, то говорят, что число записано со всеми верными цифрами.

Правило:

В записи абсолютной погрешности обычно оставляют одну значащую цифру, при этом округление всегда производится с избытком.

Правило округления чисел:

Чтобы округлить число до n значащих цифр отбрасывают все его цифры стоящие справа от n-ой значащей цифры или если это нужно для сохранения разрядов заменяют их нулями. При этом: 1. Если первая отбрасываема цифра меньше 5, то все сохраняемых цифры остаются без изменения 2. Если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, но среди отбрасываемых цифр есть не нулевые, то к последней сохраняемой цифре прибавляется единица. 3. Если первая отбрасываемая цифра равна 5 и все остальные отбрасываемые цифры нули, то последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

За абсолютную погрешность приближенного числа с известными верными цифрами принимается половина единицы того разряда, где находится последняя верная цифра. =0,05