Предрасчет точности измерений по заданной погрешности функции (Задача проектирования)
Вторая задача теории погрешностей измерений используется для проектирования точностей, с которыми необходимо производить измерение параметров для достижения общей точности, максимально приближенной к заданной.
Основные формулы.
Дисперсии для трех случаев применения принципа равных влияний:
Погрешности трех случаев применения принципа равных влияний:
10. Для производства угловых измерений в полигонометрии получено три теодолита. Первый теодолит результат со средней квадратической погрешностью измерения угла одним приемом, равной , второй — равной , третий — с погрешностью, равной . Определить какое минимальное число приемов нужно сделать каждым теодолитом, чтобы обеспечить получение средней квадратической погрешности вероятнейшего значения угла не более .
Дано: , , ,
Найти: , ,
Решение. Для того, чтобы найти количество приемов воспользуемся следующей формулой:
где — точность, с которой был получен угол в один прием, — количество приемов.
Выразим количество приемов из этой формулы и найдем их для каждого теодолита.
Ответ: , , .
20. При проектировании результатов измерений по первому принципу (равенство погрешностей измерений) требуется получить площадь прямоугольника с погрешностью при соотношении сторон и погрешности измерения стороны . Найти длины сторон прямоугольника и , удовлетворяющие поставленному условию на погрешность площади.
Дано: , ,
Найти:
Решение. Составим функцию площади прямоугольника:
Учитывая то, что отношение сторон по длине , получим
Найдем частную производную
Замишем формулу погрешности и подставим все имеющиеся данные
Выразим сторону и вычислим ее:
Зная соотношение, вычислим величину стороны :
Ответ: , .
30. Определить средние квадратические погрешности измерения ребер прямоугольного параллелепипеда , и , при которых его объем будет получен с погрешностью .
Дано: , , ,
Найти: , ,
Решение. Составим функцию объема параллелепипеда:
Найдем частные производные по каждой из сторон:
Вычислим погрешности по трем методам:
1)
2)
3)
Вычисление весов измерений и функций
Для облегчения совместной обработки разнородных и неравноточных результатов измерений вводится понятие веса. Весом называют степень доверия к результату, который вычисляется как величина, обратно пропорциональная к точности получения результата.
Основные формулы.
Вес
Обратный вес функции измерений, из которых зависимы
Обратный вес функции, представленной в матричном виде
Средняя квадратическая погрешность единицы веса
• по истинным ошибкам
• по истинным невязкам
• по истинным поправкам
Погрешность функции с использованием принципа равных влияний
5. Угол получен со средней квадратической погрешностью . Сколько приемов нужно сделать инструментом, дающим результат одного измерения со средней квадратической погрешностью , чтобы веса углов оказались одинаковыми?
Дано: , ,
Найти:
Решение. Запишем формулу для нахождения средней квадратической погрешности из приемов:
Также нам известно, что веса этих измерений угла должны быть одинаковы:
Откуда выразим и вычислим количество приемов:
Ответ: приемов.
30. Угол получен как среднее из углов и , которые измерены шестью и двумя приемами соответственно. Средние квадратические погрешности результата измерения угла одним приемом оказались и . Найти вес угла , приняв за единицу вес вероятнейшего угла .
Дано: , , ,
Найти:
Решение. Угол получается как среднее из суммы углов и , т.е.
Найдем частные производные от функции по и по :
Вычислим средние квадратические погрешности из приемов:
По условию дано, что вес угла равен единице, значит можно вычислить коэффициент .
Найдем вес измерения угла :
Вычислим обратные веса измерений:
Запишем уравнение для нахождения обратного веса функции и вычислим его значение:
Найдем вес угла :
Ответ: .