8. Термодинамические циклы

8.1 Основные показатели цикла

Рассмотрим произвольный прямой цикл 1а2b1 (рис. 8.1).

Работа цикла может быть опре­делена по разности работ процессов расширения и сжатия

(8.1)

Работе расширения отвечает площадь1`1а22`, а работе сжатия площадь 2`2b11`. В прямом цикле работа расширения больше рабо­ты сжатия и в результате работа цикла положительна. Она пропорциональна площади, ограниченной процессами, формирующими цикл, т.е. пло­щади 1а2b1. В соответствии с первым законом термодинами­ки . Так как , где q₁ и q₂ - соответственно количество подведенной и отведенной теплоты, то

(8.2)

Это уравнение, выражая первый закон термодинамики кругового процесса, является тепловым балансом цикла. Из него, в частности, следует, что о величине работы цикла можно судить по его площади не только vp-, но и sT-диаграммах.

Рис. 8.1. Произвольный обратимый цикл

Термическим КПД называется отношение работы цикла к под­веденной теплоте

(8.3)

Он показывает, какая часть подведенной теплоты превращена в работу цикла, т.е. является количественной мерой качества теплоиспользования в цикле.

Заменив на q₁ – q₂, приведем выражение (8.3) к виду

(8.4)

Другим важным показателем, характеризующим цикл в целом, является среднее давление цикла

(8.5)

Разность v_max -v_min обозначим v_i назовем рабочим объемом. Та­ким образом, среднее давление цикла р_t представляет собой работу, полученную с единицы рабочего объема, т.е. является удельной ра­ботой цикла. Из (8.3) и (8.5) получаем

(8.6)

где ε = v_max /v_min - степень сжатия.

В теории тепловых двигателей v_min называют объемом камеры сгорания (или сжатия). Отношение q₁ /v_min имеющее размерность Дж/м³, характеризует тепловую нагрузку единицы объема камеры сгорания.

В обратном цикле 1b2а1 работа сжатия больше работы расшире­ния и работа цикла отрицательна. Это значит, что для осуществления такого цикла необходимо затратить внешнюю работу.

В случае холодильной установки полезным эффектом является теплота, отведенная от объектов охлаждения в холодильной камере q₂. Отношение этой величины к затраченной работе называется холо­дильным коэффициентом

(8.7)

В цикле холодильной установки теплота q₂ подводится к рабоче­му телу в процессе расширения b21. Индекс 2 у этой теплоты сохра­няется для того, чтобы подчеркнуть, что процесс идет на низкотемпе­ратурном уровне. В процессе сжатия 2а1 от рабочего тела на высо­котемпературном уровне отводится теплота q₁.

Установки, в которых теплота q₁, отдаваемая высокотемператур­ной среде, является полезным эффектом, называются тепловыми на­сосами. Эффективность цикла теплового насоса оценивается величи­ной отопительного коэффициента

(8.8)

Термический КПД цикла, проведенного в заданном интервале температур, зависит от тех термодинамических процессов, из кото­рых он состоит. В 1824 г. С. Карно предложил цикл, обеспечиваю­щий самый высокий термический КПД в заданном температурном интервале. Цикл Карно показан на рис. 8.2. Он состоит из двух изо­терм и двух изоэнтроп (адиабат).

Рис. 8.2. Цикл Карно

Рассмотрим прямой цикл. В изотермном процессе аb к рабочему телу при постоянной температуре T₁ подводится теплота в количест­ве

(8.9)

В изоэнтропном процессе bс рабочее тело расширяется без тепло­обмена с окружающей средой. Его внутренняя энергия уменьшается, а объем увеличивается до

(8.10)

Процесс cd изотермный. В его ходе рабочее тело сжимается и отдает окружающей среде теплоту в количестве

(8.11)

Так как изменение энтропии в процессах аb и cd одинаково по величине, то . Назовем это отношение степенью изотермного сжатия (расширения) и отметим, что при заданных Т₁ и Т₂ этот параметр отражает тепловую нагрузку цикла. От точки d до точки а сжатие продолжается по изоэнтропе, т.е. без теплообмена с окружающей средой. В точке а давление и T_а=T₁. В соответствии с (8.4) получаем

(8.12)

Это уравнение показывает, что термический КПД не может быть равен 1. Для того чтобы он стал равным единице, необходимо либо , что невозможно, либо Т₂=0, что запрещено третьим законом термодинамики.

Уравнение (8.12) не содержит идентификаторов рабочего тела. Это значит, что термический КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела.

Покажем, что цикл Карно действительно обеспечивает получение наибольшего КПД в заданном температурном интервале.

Рис. 8.3. Сопоставление произвольного цикла с циклом Карно

На рис. 8.3 произвольный цикл 1d2e1 сопоставлен с циклом Кар­но abcda, проведенным между наибольшей T₁ и наименьшей Т₂ тем­пературами произвольного цикла. Подведенная теплота q₁ в произ­вольном цикле меньше, чем в цикле Карно на величину, пропорцио­нальную сумме площадей 1ad1 и db2d. Теплота q₂ в произвольном цикле, пропорциональная площади под процессом 2е1, больше отве­денной теплоты в цикле Карно, которая пропорциональна площади под процессом cd. Следовательно, в согласии с (8.4) термический КПД произвольного цикла меньше КПД цикла Карно.

Среднее давление цикла Карно найдем с помощью выражения (8.6), которое в рассматриваемом случае может быть приведено к виду

, (8.13)

где наибольшее давление в цикле р_max=p_a.

Так как знаменатель этого уравнения относительно велик, то р_t цикла Карно мало. Это означает, что если машина-двигатель, рабо­тающая по циклу Карно, была бы создана, то даже при внушительных габаритах она производила маленькую внешнюю работу.

Для случая протекания цикла Карно в обратном направлении в соответствии с (8.7) можно записать

(8.14)

Из полученного выражения следует, что холодильный коэффициент обратного цикла Карно может быть как меньше, так и больше едини­цы. При коэффициент .

Отопительный коэффициент теплового насоса, работающего по обратному циклу Карно, найдем по выражению (8.8), которое приво­дит к уравнению

(8.15)

Так как тепловой насос предназначен для перевода теплоты с низкотемпературного уровня на высокотемпературный, то T₁, как и в случае холодильной установки, больше чем Т₂. Следователь­но, При коэффициент .