- •33. Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
- •34. Абсолютная величина и её свойства.
- •1)Аналитический.
- •2) Графический.
- •3) Табличный .
- •36.Предел функции и его единственность. Бесконечно малые и их свойства. Связь предела с бесконечно малыми.
- •37.Неограниченные величины. Бесконечно большие и их связь с бесконечно малыми.
- •38.Предел последовательности. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Предел монотонной функции.
- •39.Предельный переход в равенствах и неравенствах. Теорема о «двух милиционерах».
- •40. Первый замечательный предел.
- •41. Второй замечательный предел.
- •42. Пределы, связанные со вторым замечательным.
- •43. Арифметические операции над переменными, имеющими предел. Неопределенные случаи.
- •44. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Арифметические операции над непрерывными функциями. Условия непрерывности монотонной функции и существования для ней обратной непрерывности.
- •45. Непрерывность сложной функции. Непрерывность основных элементарных и принадлежащих классу элементарных функций.
- •46. Сравнение и порядок бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые и их свойства. Основные примеры эквивалентных бесконечно малых.
- •47.Сохранение знака непрерывности функции. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора (формулировка)
- •48. Теоремы Больцано-Коши (с доказательством) и Вейерштрасса (формулировки) о свойствах непрерывных на отрезке функций.
33. Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
[a;b] = {x: a<=x<=b} – отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);
(a;b) = {x: a<x<b} – интервал (открытый промежуток);
[a;b) = {x: a<=x<b} –
(a;b] = {x: a<x<=b} – полуоткрытые интервалы;
(-∞;b] = {x: x<=b}
(-∞;b) = {x: x<b}
(-∞;+∞) = {x: -∞<x<+∞} = R – Бесконечные интервалы;
Числа a и b называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы -∞ и +∞ не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.
Пусть x0 – любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки x0 называется любой интервал (а;b), содержащий точку x0. В частности, интервал (x0- ε, x0+ε), где ε>0, называется ε-окрестностью точки x0. Число x0 называется центром, а число ε – радиусом.
Если x =(x0- ε, x0+ε), то выполняется неравенство x0- ε < x < x0+ε, что означает |x-x0|< ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки x в ε-окрестность точки x0.
Грани числовых множеств:
B – называется верхней гранью множества X, если для любого x из этого множества следует, что x<=B
A – называется нижней гранью множества X, если для любого x из этого множества следует, что x>=A
Точная верхняя грань множества (supX) – наименьшая из всех граней множества.
Точная нижняя грань множества (infX) – наибольшая из всех нижних граней множества.
Существование точной верхней грани: Для существования supX необходимо и достаточно выполнение 2 условий:
1) если x>M, x не принадлежит множеству X;
2) если b<M, то существует x0, такое, что b<x0<M; где M – supX
34. Абсолютная величина и её свойства.
|x| = max{-x;x} – определение абсолютной величины.
1) x<0 => |x|=-x
2) x>0 => |x|=x
Свойства:
1) |x| >=0 a)x>0 => |x|= x>0
б)x<0 => |x|=-x>0
2) -|x|<=x<=|x| a) x>0 -|x|<x=|x|
б) x<0 |x|=-x<=|x|
3)|x|<a a)x>0 -a<0<|x|=x<a
б)x<0 |x|=-x<a
4)|x+y| <= |x|+|y|
-|x|<=x<=|x|
-|y|<=y<=|x|
-(|x|+|y|)<=x+y<=|x|+|y|
5)|x-y|>=|x|-|y| =>|x|=|x-y+y|<=|x-y|+|y|
|y|=|y+x-x|<=|y+x|+|x|
|x|-|y| <=|x-y|
|y|-|x| <=|x-y|
|x-y|>= max{|x|-|y|;|y|-|x|}
6) |xy|=|x||y|
35. Определение функции, способы её задания. Функции четные, нечетные, монотонные, периодические. Обратная функция. Сложная функция. Суперпозиция функций. Основные элементарные функции. Класс элементарных функций.
Понятние функции:
Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие f, которое каждому элементу x принадлежащему X сопостовляет один и только один элемент у принадлежащий Y, называется функцией и записывается у=f(x), или f: X->Y. Говорят ещё, что функция f отображает множество X на множество Y.
Если элементами множеств X и Y являются действительные числа, то функцию f называют числовой функцией.
Чтобы задать функцию y=f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная x, находить соответствующее значение y.
Часто выделяют 3 способа задания функции: аналитический, табличный, графический.