1.3 Система n линейных уравнений с n неизвестными

Для исследования и решения системы n линейных уравнений с n неизвестными воспользуемся сведениями об определителях n-го порядка.

Дана система

Решением системы называется любой набор n чисел таких, что если в каждое уравнение системы вместо неизвестных х₁, х₂, х₃, …, х_n подставить эти числа, то все уравнения обратятся в верные равенства (тождества).

Определитель n-го порядка, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

.

Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Это решение вычисляется по формулам

. (6)

Здесь - определитель при неизвестном х_i, который получается из определителя системы заменой столбца из коэффициентов при х_i (с номером i) столбцом свободных членов.

Указанные формулы носят название правила Крамера, а систему в этом случае называют крамеровской.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется однородной. Запишем такую систему:

Понятно, что х₁=х₂=….=х_n=0 – одно из решений однородной системы. Назовем его нулевым решением. Видимо, нулевое решение будет единственным, если определитель системы отличен от нуля. А для того, чтобы однородная система имела ненулевые решения, должно быть =0.

Примеры.

№ 10. Является ли крамеровской система

а) б)

В примере № 6 (б) определитель первой системы был вычислен: Поэтому первая система не является крамеровской, т.е. не может иметь единственное решение.

В примере № 7 был вычислен определитель второй системы. Поскольку он отличен от нуля, система имеет единственное решение. Предлагается найти это решение по формулам Крамера. Для этого придется вычислить еще четыре определителя четвертого порядка. Поэтому практическое значение правила Крамера для достаточно большого n весьма невелико. С практической точки зрения гораздо более удобным является метод Гаусса, который будет рассмотрен в п. 6.

1.4 Матрицы. Действия над матрицами

Мы рассматривали системы, в которых число уравнений и число неизвестных одинаково. Перейдем теперь к системам более общего вида и запишем систему т линейных уравнений с п неизвестными:

Таблицу из коэффициентов при неизвестных назовем прямоугольной матрицей порядка т х п и обозначим буквой А:

Матрица А состоит из т·п элементов, расположенных в т строках и п столбцах. Если а_ij – произвольный элемент матрицы, то индекс i (номер строки) принимает значения от 1 до т, индекс j (номер столбца) принимает значения от 1 до п. Записывают: i=1,2,3,…,т; j=1,2,3,..,п.

Например, - матрица порядка 2х4.

- матрица – строка порядка 1х5.

- матрица – столбец порядка 4х1.

При т=п получим квадратную матрицу.

Квадратная матрица называется единичной, если ее главная диагональ состоит из единиц, а все другие ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е.

Так, - единичная матрица второго порядка.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О.

- нулевая матрица порядка 2х3;

- нулевая матрица порядка 2х2.