Кругляк_Физика и моделирование нанотранзисторов_2018_314 стр_обложки

10.7. Расширенная модель проводника

Точечная модель проводника не учитывает градиент электрического поля в канале проводимости и предполагает, что плотность состояний D(E) остается постоянной на всем протяжении проводника от истока до стока. В реальности электрическое поле понижает уровни энергии проводника вблизи стока в большей степени по сравнению с истоком, в результате чего наблюдается градиент плотности состояний D(z, E) (рис. 14). Как это влияет на ток?

Рис. 14. Ненулевое электрическое поле в канале проводимости больше понижает состояния проводника ближе к стоку по сравнению с истоком.

На первый взгляд кажется, что в случае упругого резистора «косоидущие состояния» не могут дать вклад в проводимость, поскольку в упругом резисторе вклад в проводимость могут дать лишь состояния с постоянной энергией, начинающиеся на истоке и заканчивающиеся на стоке. Однако, даже для идеального упругого резистора должно иметь место увеличение тока, поскольку число мод вблизи стока больше числа мод у истока (рис. 15).

310

Рис. 15. Градиент электрического поля в канале проводимости приводит к большему числу мод вблизи стока по сравнению с истоком.

Вызвано это тем, что число мод с энергией Е зависит от того, насколько далеко эта энергия находится от дна зоны проводимости, положение которого определяется потенциалом U (z) , значение которого ниже у стока по сравнению с истоком (рис. 15).

Структура спектра состояний проводника выглядит как бы более растянутой у стока по сравнению с истоком. Это не существенно для баллистического проводника, а вот для проводника, длина которого L намного больше средней длины свободного пробега , уширение спектра на стоке может увеличить проводимость.

В общем случае можно написать, что

q2 M		G(E)	q2	M1 .	(15)
	1
h L			h

Этот эффект не существенен для квазибаллистических упругих каналов, поскольку для таких каналов минимальные и максимальные значения проводимости фактически одинаковы. На самом деле увеличение проводимости можно приписать зависимости средней длины свободного пробега от электрического поля; этим можно пренебречь в режиме линейного отклика, чем мы фактически и пользовались.

10.8. Уравнение диффузии и расширенная модель проводника

Как учесть градиент электрического поля количественно? Для этого в диффузионном уравнении

I dEF

A q dz

учтем пространственное изменение удельной проводимости вдоль длины проводника:

	I			(z) dEF .	(16)
	A
				q dz

Если ранее удельная проводимость усреднялась по энергии фермиевского окна проводимости шириной в несколько kT в

E EF 0 :

			f
	dE (E)				,
			E E EF 0
	311

в пределах окрестности

(17)

то теперь переменный вдоль длины проводника электростатический потенциал U (z) сдвигает состояния проводника по энергии, в результате чего усреднение нужно вести в окрестности E EF (z) – U(z) :

			f
	dE (E)				.	(18)
			E E EF ( z) U ( z)

Обратим внимание на то, что использование уравнений (16) и (18) требует вычисления EF (z) – U(z) из итерационной процедуры решения уравнения Пуассона

d		dU	q2 (n n ) ,	(19)
			0
dz		dz

где ε – относительная диэлектрическая проницаемость прокладки затвора, а n0 и n(z) – электронная плотность на единицу длины в канале проводимости в состоянии равновесия и вне равновесия, которые можно вычислить согласно определению, а именно:

	D(E U (z))						1
n(z) dE											,	(20)
		L			e	(E EF ( z))/kT
										1
		D(E)				1
n0	dE								.			(21)
		L e		(E EF 0 )/kT
								1

Принципиальная блок-схема вычисления тока в расширенной модели проводника показана на рис. 16.

Рис. 16. Самосогласованная процедура вычисления потенциала проводника U и тока в расширенной модели проводника.

312

Нужно иметь в виду, что изложенный выше подход основан на модели локальных электрохимических потенциалах EF (z) , описывающих транспорт электронов направо и налево, среднее значение которых фигурирует в уравнении диффузии (71/[2/гл.7]). В общем же случае распределение электронов может настолько сильно отличаться от фермиевского, что концепция электрохимических потенциалов окажется неадекватной и потребуется решать транспортное уравнение Больцмана, что является несравненно более сложной задачей. Несмотря на значительные успехи в этом направлении, уравнение диффузии, основанное на концепции локальных электрохимических потенциалов, по-прежнему остается главным инструментом в моделировании электронных устройств.

Концепция «снизу – вверх» расширяет область применимости уравнений диффузии (71/[2/гл.7]) и (16). Ими можно пользоваться и для моделирования баллистических каналов, если только должным образом модифицировать граничные условия с целью учесть граничные сопротивления.

Литература

1.S. Datta, Lessons from Nanoelectronics: A New Perspective on Transport

(Singapore: World Scientific: 2012).

2.Ю. А. Кругляк, Наноэлектроника «снизу – вверх» (Одесса: ТЭС: 2015).

3.Ю. О. Кругляк, М. В. Стріха, Укр. Фіз. Журн., Огляди, 10, 3 – 32 (2015).

4.Ю. А. Кругляк, Наноэлектроника «снизу – вверх», изд. 2-ое дополненное

(Киев: Изд-во Стррельбицкого: 2016).

5.S. Datta, Lessons from Nanoelectronics. Part A: Basic Concepts

(Singapore: World Scientific: 2017).

6.A. Rahman, Guo Jing, S. Datta, M. Lundstrom, IEEE Trans. Elect. Dev., 50: 9, 1853 – 1864 (2003).

7.R. F. Pierret. Semiconductor Device Fundamentals. (Reading, MA: Addison–Wesley: 1996).

8.Ю. А. Кругляк. ScienceRise, т. 5: 3(5), 21 – 38 (2014).

9.Yu. A. Kruglyak, M. V. Strikha,

Proc. 2015 IEEE 35th Intern. Conf. Electronics Nanotech. (ELNANO), April 21

– 24, 2015, Kyiv, Ukraine, pp. 70 – 74; DOI: 10.1109/ELNANO.2015.7146837.

313

Підписано до друку 14.08.2018 р. Формат 60х84/16 Папір офсетний. Ум. друк. арк. 18,37 Наклад 100 прим. Замовлення 840

Видавництво та друкарня "ТЕС" (Свідоцтво ДК № 771) Одеса, Канатна 81/2.

Тел.:[phone]