10.6. Пример расчета

Задача 1. Для заданной схемы (рис. 10.10, а) определить значение m и построить эпюру крутящих моментов.

Решение.

1. Методом сечений на каждом участке вала определяем значение крутящего момента.

Рис. 10.10. Схема вала для построения эпюры

крутящих моментов

1-й участок. Рассмотрим равновесие левой отсеченной части вала. Составим уравнение равновесия:

на 1-м участке имеет отрицательное значение, так как со стороны внешней нормали к отсеченной части вращается по часовой стрелке.

2-й участок:

3-й участок:

с другой стороны:

2. Эпюра с учетом знаков построена на рис. 10.10, б.

Задача 2. Вал круглого поперечного сечения диаметром d = 40 мм скручивается моментами m₁ = 0,6 кНм, m₂ = 1,2 кНм и m₃ = 0,8 кНм (рис. 10.11, а). Проверить прочность вала и определить абсолютный угол закручивания концевого сечения, если [τ] = 80 МПа, G = = 8×10⁴ МПа.

Рис. 10.11. Схема вала круглого поперечного сечения

Решение.

1. Методом сечений строим эпюру крутящих моментов (рис. 10.11, б).

2. Определим геометрические характеристики поперечного сечения вала:

3. Проверяем прочность вала:

4. Определяем абсолютный угол закручивания концевого сечения:

Задача 3. Построить эпюру углов закручивания для ступенчатого стального вала, нагруженного, как показано на рис. 10.12, а. G = = 8×10⁴ МПа.

Решение.

1. Определим геометрические характеристики сечений каждой ступени вала:

Рис. 10.12. Схема ступенчатого вала

2. Построим эпюру крутящих моментов (рис. 10.12, б).

3. Определим углы закручивания в характерных сечениях вала по формуле

тогда

изображена на рис. 10.12, в.

Задача 4. Определить внутренний и наружный диаметры полого стального вала, передающего мощность N = 100 кВт и вращающегося с угловой скоростью ω = 80 рад/с, если [τ] = 60 МПа; α = d/D = 0,6, [θ] = 45×10^–4 рад/м, G = 8×10⁴ МПа.

Решение.

1. Определим крутящий момент на валу:

2. Из условия прочности определим момент сопротивления сечения вала:

откуда ;

3. Определим наружный диаметр вала из условия жесткости:

4. Принимаем D = 80 мм, d = 48 мм.

Задача 5. Вал диаметром 90 мм передает мощность N = 80 кВт. Определить предельное число оборотов вала, если [τ] = 60 МПа.

Решение.

1. Определим момент сопротивления поперечного сечения вала:

.

2. Из условия прочности определим крутящий момент на валу:

3. Определим предельное число оборотов вала:

откуда

Задача 6. Какую мощность может передать вал, вращающийся с угловой мощностью ω = 20 рад/с, диаметром d = 100 мм при допускаемом напряжении [τ] = 60 МПа и допускаемом угле закручивания [θ] = 45 × 10^–4 рад/м. Модуль сдвига G = 8 × 10⁴ МПа.

Решение.

1. Определим геометрические характеристики поперечного сечения вала:

2. Передаваемая валом мощность определяется по формуле

3. Из условия прочности имеем:

Из условия жесткости:

Принимаем

Задача 7. Цилиндрическая пружина, изготовленная из стальной проволоки диаметром d = 6 мм, имеет n = 10 витков. Диаметр пружины D = 66 мм. Пружина растягивается осевыми силами F = 300 Н. Проверить прочность пружины, если [τ] = 240 МПа. Определить удлинение и жесткость пружины и накапливаемую потенциальную энергию. G = 8 × 10⁴ МПа.

Решение.

1. Определим поправочный коэффициент:

2. Определим касательные напряжения, возникающие в поперечных сечениях прутка пружины:

3. Определим удлинение пружины под действием внешней нагрузки:

4. Определим жесткость пружины:

5. Определим потенциальную энергию деформации:

Задача 8. Стальная цилиндрическая пружина сжимается осевыми силами F (рис. 10.13). Пружина навита из проволоки диаметром d = 5 мм, с шагом t = 10 мм и имеет диаметр D = 30 мм. Определить значение сил F, при которых будет достигнута ее предельная осадка. G = 8 × 10⁴ МПа.

Рис. 10.13. Схема пружины, сжатой осевыми силами

Решение.

1. Запишем условие жесткости пружины при сжатии:

2. Определим предельное значение сил F: