Обобщённая машина

Второй и третий член правой части (1.52) представляют собой мощность, расходуемую на изменение энергии магнитного поля в электрической машине, вследствие изменения тока в её обмотках и изменение индуктивностей её обмоток при наличии магнитной несимметрии ротора или статора.

Это изменение энергии, например, в уединённом контуре или в разомкнутых остальных контурах равны полной работе, затрачиваемой на установление тока в данном контуре, и определяется как:

i

W L0 idi 12 Li2 (1.53)

0

Если же существует, по крайней мере, два взаимосвязанных контура (сцепленных магнитными потоками), то энергия магнитного поля численно равна работе, затрачиваемой на установление токов в этих контурах, и с учётом взаимной индуктивности определяется следующим образом:

W	1	L i2		1	L		i2	Li i		(1.54)
2		11 1	2			22	2	1	2

Общее выражение для определения энергии магнитного поля произвольного числа взаимосвязанных контуров имеет вид:

1

s

s

W

ik in Lkn

(1.55)

2 k 1

n 1

Полное приращение этой энергии за время dt , в течение которого

ik ,in ,Lkn

имеют приращение dik ,din ,dLkn , равно:

W

W

W

s

s

1

s

dW

dik

din

dLkn

ik Lkndin

indLkn .

(1.56)

ik

in

Lkn

k 1

n 1

2 k 1

Из (1.56) можно определить мгновенную мощность, расходуемую на изменение этой энергии, путём дифференцирования этого выражения по времени:

dW

s

s

di

n

s

s

dL

kn

Pw

ik Lkn

12

ik in

.

(1.57)

dt

2

d 12t

k 1

n 1

dt

n 1

n 1

Сравнивая (1.57) со вторым и третьим членами правой части (1.52), можно заметить, что первый член правой части (1.57) равен второму члену правой части (1.52), а второй член правой части (1.57) равен половине третьего члена правой части (1.52).

Из этого сравнения следует, что остальная мощность (1.52), равная половине третьего члена правой части (1.52) не затрачивается на изменение энергии магнитного поля в электрической машине.

Но, согласно закону сохранения энергии, должно выполняться равенство: работа источника тока = тепло Джоуля-Ленца + увеличение энергии магнитного поля + механическая работа.

Значит половина третьего члена правой части (1.52) является мощностью, затрачиваемой на совершение механической работы:

			12	s	s	dL	kn
Pмех				ik in					.	(1.58)
						d t
	2
				k 1	n 1	12

Механическая мощность, затрачиваемая электрической машиной, равна произведению электромагнитного момента на частоту вращения ротора электрической машины:

	Pмех M 12 .										(1.59)
	Отсюда определяем зависимость электромагнитного момента:
		P		1	s	s	dL	kn
	M	мех			ik in					.	(1.60)
				2			d t
	12				k 1	n 1	12

Анализ электромагнитного момента электрической машины по (1.60) проведём на примере рис. 1, когда число пар статорных и роторных обмоток равно одному, то есть k=1 и n=1.

В результате уравнение (1.60) принимает вид:

	1 2		dL12			dL12			1 2		dL22		(1.61)
M		i1			i1i2					i2
	2		d	t		d	t		2		d t
			12		12						12

Если магнитопровод статора и ротора симметричен относительно углового положения, то первый и третий члены правой части (1.61) равны нулю и зависимость электромагнитного момента электрической машины от величины токов будет иметь вид:

M i1i2	dL12		(1.62)
	d t
12
При наличии магнитной несимметрии магнитопровода статора			или ротора

относительно их угловых положений, могут присутствовать соответственно или первый, или третий члены правой части (1.61).

Если же магнитную несимметрию будет иметь одновременно и магнитопровод ротора, и магнитопровод статора, а в реальном двигателе при учёте зубцовых гармоник это всегда имеет место, то электромагнитный момент электрической машины будет определяться всеми членами правой части уравнения (1.61).

Учёт реактивных составляющих электромагнитного момента – первого и третьего членов правой части (1.61) - произведём следующим образом.

Представим конструкцию машины такой, что угловые изменения положения ротора (статора) относительно обмотки статора (ротора) вызывают изменения индуктивности обмотки, описываемые зависимостью:

L11 L110 L11mCos2pn 12t ,

(1.63)

где L110 (L11max L11min )/2 - среднее значение индуктивности обмотки; pn – число пар пазов на роторе (статоре); L11m – амплитуда приращения индуктивности при

изменении углового положения ротора (статора).

В уравнении (1.63) всегда соблюдается условие:

L110 L11m ,

так как в противном случае теряется физический смысл. Производную индуктивности по углу поворота

представить в виде:

(1.64)

ротора (статора) можем

dL11		dL11		dt	.	(1.65)
d( 12t)
		dt d( 12t)

А с учётом соотношения:

dL11		1	(1.66)

d( 12t) 12

после подстановки (1.63) в (1.65) получаем:

	dL11	2p L	Sin2p t	(1.67)
	d( 12t)	n 11m	12
После подстановки (1.67) в (1.61), определяем реактивную составляющую
электромагнитного момента:				(1.68)
M p pni12L11mSin2p 12t
Из (1.68) следует, что при постоянном токе i1				электромагнитный реактивный

момент электрической машины будет знакопеременным.

Аналогичные рассуждения относительно реактивного момента от магнитной несимметрии магнитопровода статора приводят к таким же выводам относительно электромагнитного момента.

Анализ составляющей электромагнитного момента, определяемой изменением взаимной индуктивности между обмотками и соответствующей второму члену правой части (1.61), можно провести путём анализа производной от взаимной

индуктивности этих обмоток по углу между ними.
Представим производную в виде:
	dL12				dL12			dt		,	(1.69)
	d( 12t)
					dt			d( 12t)
С учётом (1.66) и того, что											(1.70)
	L12 L12mCosp 12t
а также, что производная от взаимной индуктивности равна:
	dL12	p L							Sinp t ,		(1.71)
	dt				n 12			12m		n 12
в итоге получаем:
	dL12			p		L			Sinp t .		(1.72)
	d( 12t)				n			12m	12
Электромагнитный момент, связанный с изменением взаимной индуктивности
обмоток, равен:
M i1i2 pnL12mSinp 12t ,											(1.73)
Из (1.73) следует, что при постоянных токах i1 и i2											электромагнитный момент
будет знакопеременным.

Если статорные и роторные обмотки являются трёхфазными, то магнитное поле взаимной магнитной индукции образуется суммой намагничивающих сил отдельных фазных обмоток.

При допущении о синусоидальном распределении магнитной индукции в зазоре машины, что справедливо в пределе только для идеализированной машины, при симметричной трехфазной системе питающих статорные и роторные обмотки напряжений, результирующий вектор намагничивающей силы этих статорных или роторных обмоток будет при постоянной амплитуде с постоянной угловой скоростью изменять своё угловое положение.

Амплитуда результирующего вектора тока, напряжения или иной физической величины, образованной симметричной системой m-фазных величин аналогичного характера можно определить, например, следующим образом.

Если мгновенные значения i-той фазы, например тока, описываются зависимостью:

	ii	imSin	2		i 1 t		,	(1.74)
				m

то проекции векторов этих токов на ось X, совпадающей с осью фаза А (первой фазы), равны:

		2
iix	imCos						i 1 t		,	(1.75)
		m
а проекции векторов этих токов на ось Y, перпендикулярной оси X, равны:
iiy	imSin	2				i 1 t			,	(1.75а)
		m

Суммы проекций на оси Х и Y составляют проекции результирующего вектора выбранной физической величины, в рассматриваемом случае – тока, на эти оси:

	n	2
i x	im Cos						i 1 t		;
				m
	i 1
	n	2				i 1 t
	im Sin
i y								.
				m
	i 1

(1.75б)

(1.75в)

Амплитуда результирующего вектора в общем случае определяется

зависимостью:
i 0 i2 x i2 y	(1.75г)

В симметричной трехфазной системе результирующий вектор выбранной величины i 0 связан с амплитудой фазной величины im следующим соотношением:

i 0		3	im	(1.75д)
	2

Учитываем то, что геометрическая скорость результирующих векторов будет меньше электрической угловой скорости, равной круговой частоте тока фазы, в pn раз, равном числу пар полюсов.

При наличии симметрии многофазных обмоток, симметричными будут и потокосцепления Am , Bm , Cm и фазные ЭДС EA , EB , EC .

В последующих расчётах модуль фазной ЭДС будем обозначать Em , а потокосцепления m .

Обычно для описания переходных процессов в трёхфазной электрической машине используется решение системы дифференциальных уравнений статора:

u	Ri			d 1A		;		(1.76)
1A	1 1A			dt
u	Ri			d 1B	;
1B	1 1B			dt
u	Ri			d 1C			,
1C	1 1C			dt

и ротора:

u	2a	R i	2a				d 2a			;	(1.77)
		2					dt
u2b		R2i2b				d 2b			;
							dt
u2c		R2i2c			d 2c			.
							dt

Если при наличии симметрии не учитывать нулевые составляющие потокосцеплений, токов и напряжений, то потокосцепления можно представить в виде:

1A L1Ai1A LAai2a LAbi2b LAci2c ;

(1.77а)

2a L2ai2a LaAi1a LaBi1b LaCi1c ;

1B L1Bi1B LBai2a LBbi2b LBci2c ;

2b L2bi2b LbAi1A LbBi1B LbCi1c ;

2C L2Ci2C LcAi1A LcBi1B LcCi1C ;

1C L1Ci1C LCai2a LCbi2b LCci2c ;

где:

L1 L11 L1 3(L1m L1 m ) - индуктивность фазы статора;

2

L11 3 L1m - составляющая индуктивности фазы статора;

2

L1 - индуктивность рассеяния фазы статора;

L2 L22 L2 3(L2m L2 m ) - индуктивность фазы ротора;

2

L22 3L2m - составляющая индуктивности фазы ротора;

2

L2 m - индуктивность рассеяния ротора.

Эти же составляющие индуктивностей используем и для определения электромагнитного момента:

M	i1k	i2n	dLkn	(1.78)
			d( t)
	k A,B,C	n a,b,c	12

Принимая во внимание (1.38) и с учётом числа пар полюсов pn получаем:

Lkn LmCos(pn 12t) LmCos kn		(1.79)
После подстановки (1.79) в (1.78), получаем:
M pnLm i1k	i2k Sin kn	(1.80)
k A,B,C	n a,b,c

Использование уравнений (1.76) - (1.80), затрудняет проведение обобщений ввиду громоздкости выкладок. Поэтому более рациональным является такое представление параметров машины, при котором эти выкладки становятся более наглядными при сохранении тех же конечных результатов расчётов.

Переход от систем трёхфазных напряжений статора и ротора к уравнениям, выраженным через результирующие векторы в комплексной форме записи, но равносильными по действию исходной этих трёхфазных величин, осуществляется

путём умножения в (1.76) и (1.77) соответственно уравнений для фаз А и а на 2 ,

				3
уравнений для фаз В и в – на	2a	, уравнений для фаз С и с – на	2a2	с последующим
3		3

																j2
почленным сложением этих уравнений. Здесь приняты обозначения															a e		-
																3
единичный комплекс.
В результате умножения получаем:
~		2										2
U1								(U1A U1Ba U1Ca						)
		3
~		2							2
I1							(I1A I1Ba I1Ca			)
		3
~		2					( 1A 1Ba 1Ca				2
1													)
		3
U~2					2			(U1A U1Ba U1Ca2 )							(1.81)
		3
~		2										2
U1								(U1A U1Ba U1Ca						)
		3
~		2										2
U1								(U1A U1Ba U1Ca						)
		3
После сложения модули результирующих векторов для трёхфазной машины в

соответствие с (1.79) могут быть выражены через модули фазных векторов следующим образом:

U1						3						U1m ;								(1.82)
		2
I1			3								I1m ;
		2
1					3						1m ;
		2
U2								3						U	2m ;
		2
I2				3						I2m ;
		2
2							3								2m .
		2
В итоге, с учётом (1.82а) и (1.82б) уравнения (1.76) и (1.77) принимают вид:
U~		R I~																d ~1		(1.83)
1		1 1																	dt
~		~																	d ~	2
U		R I
																			dt
	2	2													2

Каждое из этих уравнений справедливо при его рассмотрении в соответствующей, связанной со статором или ротором, системе координат.

Первое из этих уравнений справедливо рассматривать в неподвижной относительно статора системе координат.

Второе уравнение - справедливо рассматривать в неподвижной относительно ротора системе координат, но вращающееся относительно системы координат статора с частотой вала.

Совместное решение уравнений (1.83) возможно только при рассмотрении их в одной системе координат.

Для этого выберем за основу систему отсчёта координат, неподвижную относительно статора. Это удобно будет при проведении анализа и статических, и

динамических характеристик обобщённой машины, связанных с угловой скоростью её вала.

Вектор роторной величины, наблюдаемый со стороны статорной системы координат, вращается со скоростью 2(1) , которая равна сумме угловых скоростей

вращения вала и скорости 2 вращения ротора этой величины относительно статора с учётом знака.

Выразить векторные величины одной системы координат, подвижной относительно другой системы координат, можно следующим образом:

U~2	U~2(1)e j t ;			(1.84)
~	~	j t	;
I2	I2(1)e
~2	~2(1)e j t ,

где t Aa - угол поворота оси фазы a ротора относительно оси фазы А статора.

Величины с индексами в скобках указывают на принадлежность их к координатам, рассматриваемым со стороны статорной системы координат.

С учётом (1.84) уравнения (1.83) принимают вид:

U~	R I~		d ~1	;	(1.85)
1	1 1		dt

U~2(1)e j t R2I~2(1)e j t d(~2(1)e j t )

dt

Произведя дифференцирования, аналогично (1.28), получаем:

d(~2(1)e j t )

dt

e	j t	d ~2(1)	~	( je	j t d t			(1.86)
			2(1)				)
		dt				dt

После подстановки (1.86) в (1.85) и после деления второго уравнения на e j t , получаем систему уравнений напряжений в статорной системе координат:

U~ R I~				d ~1							(1.87)
				dt
1	1 1
~		~				d ~2(1)					j ~2(1)
U2(1)	R2I		2(1)
								dt
Имея в виду то, что
	~				~						(1.88)
~1 L1I1		L12mI						2(1)	~
~		~			L
	L I		2(1)						I	1
2(1)	2							12m

и то, что в дальнейшем будем рассматривать все процессы в электрической машине только в статорной системе отсчёта, отбросим индексы, указывающие на принадлежность уравнений к этой системе координат, и окончательно запишем уравнение равновесия напряжений обобщённой машины в следующем виде:

~		~		~	(1.89)
U1	R1 p j 1 L1 I1		p j 1 L12I2 ;
~	R2 p	~		~	,
U2		j 2 L2 I	2	p j 2 L21I1
где (p j )		- обобщённый оператор дифференцирования.

Если теперь по (1.80) определить электромагнитный момент электрической машины, то получим:

M pnLm[i1A (i2aSin Aa i2bSin Ab i2cSin Ac )

i1B (i2aSin Ba	i2bSin Ba	i2cSin Bc )	(1.90)
i1C (i2aSin Ca	i2bSin Cb	i2cSin Cc )]

Выполнив переход от системы трёхфазных токов к уравнению, выраженному в комплексной форме в соответствии с (1.82) для роторных величин и представляя аналогичным образом в соответствие с (1.81) систему трёхфазных токов статорной цепи в комплексной форме, получаем:

M pnLm

~

~

Sin 12

pnLm

~

~

Sin 12 ,

(1.91)

I1

I2(1)

I1

I2

где 12 - угол между направлениями результирующих векторов статорного и роторного токов.

Учёт магнитной несимметрии роторного и статорного магнитопроводов позволяет определить реактивный электромагнитный момент, развиваемый электрической машиной в результате изменения взаимной индуктивности обмоток.

При магнитной несимметрии ротора эта реактивная составляющая электромагнитного момента от действия результирующего вектора статорного тока

I1 (при угле 1d2 электрических градусов между направлением оси d2

магнитной

несимметрии ротора и током) равна:

~2

(1.92)

Mp1 pnI1 L12mSin2 1d2

Составляющая момента с магнитной несимметрией статорного магнитопровода

при угле 2d1 между током и осью d1 равна:

~2

(1.93)

Mp2 pnI2 L21mSin2 2d1 .

Результирующий электромагнитный момент, развиваемый электрической

машиной, равен сумме его составляющих моментов:

~

~

1

~2

1

~2

(1.94)

M M Mp1 Mp2 pn (Lm

I1

I2

Sin 12

L12mI1 Sin2 1d2

L21mI2 Sin2 2d1)

2

2

Глава 3. Структурное представление регулируемых электроприводов с обобщённой электрической машиной

Дальнейший анализ и синтез регулируемых электроприводов проведём на основе обобщённой электрической машины.

Для этого уравнения (1.87) представим в виде:

~	~		~		~	;	(3.1)
U1	I1R1	E11		E12
~	~		~		~		;
U2	I2R2		E22		E21

Первые члены правой части каждого равенства равны падению напряжения на активных сопротивлениях обмоток статора и ротора.

Вторые члены – определяют ЭДС самоиндукции от изменения тока в этих обмотках.

Если выделить в (3.1) падения напряжения на активных и индуктивных сопротивлениях, то (2.1) принимает вид:

~

~

~

~

(3.2)

U1

I1 R1 j 1L1 pL1I1 E12 ;

~

~

R2

~

~

U

2

I2

j 2L2 pL2I2

E21

и I~2 :

Из этих уравнений определим токи I~1

~

~

I~

U1

E12

;

(3.3)

R j L pL

1

1

~

1

1

1

~

I~

U

2 E21

;

2

R2 j 2L2 pL2

Структура обобщённой электрической машины, соответствующая этим

уравнениям, представлена на рис. 3.1.

Третьим членом правой части уравнений (3.1) и (3.2) являются ЭДС,

обусловленные взаимной индуктивностью:

~

~

;

(3.4)

E12

p j 1 L12I

2

~

~

;

E21

p j 2 L21I1

По своей физической сути правая часть уравнения (3.4) является суммой трансформаторной ЭДС от изменения амплитуды тока и ЭДС вращения, обусловленной изменением углового положения вектора намагничивающей силы одной обмотки относительно другой обмотки:

~	~	~	;	(3.5)
E12	pL12I2	j 1L12I2
~	~	~
E21	pL21I1	j 2L21I1 .

С учётом (3.4) структурные схемы рис. 3.1 и 3.2 принимают вид рис. 3.3 и 3.4. Сопоставление структурных схем 3.3. и 3.4 показывает, что выходная величина

одной из них является входной величиной для другой.

Выполнив соответствующие соединения, получаем единую структуру обобщённой электрической машины, представленную на рис. 3.5.

Из этой структурной схемы обобщённой электрической машины определяем основные её передаточные функции: