Линейная алгебра, Мат. анализ, Теория вероятностей и мат. статистика (ТВиМС)

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Прямая на плоскости

φ – угол наклона прямой, φ [0;π).

k=tg φ – угловой коэффициент, k (-∞;+∞).

Стандартные уравнения прямой

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y = kx + b

k – угловой коэффициент прямой,

b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.

2. Уравнение прямой с известным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку:

y − y0 = k(x − x0 )

k – угловой коэффициент прямой, ( x0 , y0 ) – координаты заданной точки.

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

y − y1	=	x − x1
y2 − y1		x2 − x1

( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) – координаты заданных точек.

4. Общее уравнение прямой:

Ax + By + С = 0

А, В, С – некоторые числа, причём А2+В2≠0.

Частные случаи уравнения:

y=b – уравнение прямой, параллельной оси Ox (y=0 – ось Ox). x=a – уравнение прямой, параллельной оси Oy (x=0 – ось Oy). y=kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат.

41

					Угол между прямыми
	tgθ =		k2 - k1		, где k , k	2	- угловые коэффициенты прямых.
			1+ k2k1		1
	Условие параллельности прямых: ℓ2 ℓ1 Û k2 = k1
	Условие перпендикулярности прямых: ℓ2 ^ ℓ1 Û k2							= -	1
									k1

Дифференциальное исчисление

Опр. Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

y¢(x) = lim	y	= lim	f (x +	x) − f (x)
	Dx			Dx
x→0		x→0

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной

Производная функции, вычисленная в точке х0, равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке:

y′(x0 ) = kкас

Биологический смысл производной

Пусть функция p=p(t) задаёт число особей в популяции в зависимости от времени t. Тогда производная этой функции, вычисленная в точке t0, равна скорости размножения популяции (если она положительна, то это скорость размножения, если отрицательна – скорость вымирания) в момент времени t0:

p′(t0 ) = v(t0 )

Правила дифференцирования

1. (Cu )¢ = Cu¢
2. (u ± v)¢ = u¢ ± v¢	4.	u ¢			=	u¢v - uv¢
						v	2
		v
3. (uv)¢ = u¢v + uv¢	5. f ¢(u(x)) = f							¢×u¢
								u x

42

Таблица производных

Основные элементарные функции

1.C′ = 0.

2.x¢ = 1.

3.(xα )¢ = α xα −1 ,

4.( x )¢ = 2 1 x ,

5.1 ¢ = - 12 ,x x

6.(ax )¢ = ax ln a,

7.(ex )¢ = ex ,

8. (loga x)¢ =	1	,
	x ln a

9. (ln x)¢ = 1 , x

10.(sin x)¢ = cos x,

11.(cos x)¢ = -sin x,

	12.	(tgx)¢ =	1				,
			cos2
						x
	13.	(ctgx)¢ = -				1						,
				sin2					x
	14.	(arcsin x)¢ =							1					,
						1			- x2
	15.	(arccos x)¢ = -										1			,
									1- x2
	16.	(arctgx)¢ =				1						,
						+ x2
			1
	17.	(arcctgx)¢ = -							1				,
									+ x2
						1

Сложные функции

(uα )¢ = α uα −1u¢

(			)			2				u
					¢	=		1					×u¢
		u
1			¢		= -			1			×u¢
								u	2
u

(au )¢ = au ln a ×u¢

(eu )¢ = eu u¢

(loga u )¢ =

1

×u¢

u ln a

(ln u )¢ =

1

×u¢

u

(sin u )¢ = cos u ×u¢

(cos u )¢ = -sin u ×u¢

(tgu )¢ =

1

×u¢

cos2 u

(ctgu )¢ = -

1

×u¢

sin2 u

(arcsin u )¢ =

1

×u¢

1

- u2

(arccos u )¢ = -

1

×u¢

1- u2

(arctgu )¢ =

1

×u¢

+ u2

1

(arcctgu )¢ = -

1

×u¢

+ u2

1

43

Интегральное исчисление

Опр. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если выполнено равенство: F ′(x) = f (x) .

Опр. Общее выражение множества всех первообразных для функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции.

∫ f (x)dx = F (x) + C

Опр. Операция нахождения первообразной называется интегрированием функции.

Свойства неопределённого интеграла

1.∫α f (x)dx = α ∫ f (x)dx, α - const,

2.∫( f1 (x) ± f2 (x)) dx =∫ f1 (x)dx ±∫ f2 (x)dx,

3.∫ f (ax + b)dx = 1 F (ax + b) + C.

a

Таблица основных интегралов

1. ∫ dx = x + C

	2. ∫ xα dx =					xα +1					+ C, α ¹ -1
				α +1
	3. ∫	dx	= ln			x		+ C
		x		ax
	4. ∫ ax dx =								+ C
				ln a

5.∫ ex dx = ex + C

6.∫sin xdx = - cos x + C

7.∫ cos xdx = sin x + C

8. ∫

dx

= tgx + C

cos2 x

9. ∫

dx

= -ctgx + C

sin2 x

10.

∫

dx

=

1

arctg

x

+ C

a

2

2

+ x

a

a

11.

∫

dx

= arcsin

x

+ C

a

a

2

- x

2

12.

∫

dx

=

1

ln

a + x

+ C

или

∫

dx

=

1

ln

x - a

+ C

a2 - x2

2a

a - x

x2 - a2

2a

x + a

∫

dx

13.

= ln

x +

x2 + m

+ C

x

2

+ m

44

Определённый интеграл

Опр. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a;b] называется предел интегральной суммы

n

∑ f (xi ) xi при n→∞ и λ→0, не зависящий ни от способа разбиения отрезка, ни от

i=1

выбора промежуточных точек хi:

b	f (x)dx = lim	n
∫		∑	f (x )	x
	n→∞		i	i
a	λ →0	i=1

n – число отрезков, на которые разбит отрезок [a;b], λ – длина наибольшего отрезка, хi – некоторая точка i-го отрезка.

b

Формула Ньютона-Лейбница: ∫ f (x)dx = F (x) ba = F (b) − F (a)

a

Геометрический смысл: Определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [a;b]

b

функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ox: ∫ f (x)dx = Sкр.тр.

a

			Свойства определённого интеграла
b		b
1.∫Сf (x)dx = С∫ f (x)dx, где С − const,
a		a
b		b	b
2.∫( f1 (x) ± f2 (x)) dx = ∫ f1 (x)dx ± ∫ f2 (x)dx,
a		a	a
b		a
3.∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx,
a		b
b	c	b

4.∫ f (x)dx =∫ f (x)dx +∫ f (x)dx, где c [a;b],

a

a

c

a

5.∫ f (x)dx =0,

a

45

a	0, если f (x) − нечётная функция,
6. ∫
	f (x)dx =	a
− a	2∫ f (x)dx, если f (x) − чётная,
		0

b

7. Если f (x) ³ 0 (£ 0) при всех x Î[a;b], то ∫ f (x)dx ³ 0 (£ 0).

a

Геометрические приложения: площадь фигуры

b

Sф. = ∫( f (x) − g(x)) dx,

a

где a и b – абсциссы точек пересечения графиков, которые находят из уравнения f(x)=g(x).

Дифференциальные уравнения

Опр. Дифференциальное уравнение – это уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные или дифференциалы различных порядков этой функции, при этом порядок старшей производной или дифференциала называется порядком уравнения.

F ( x, y(x), y′(x),..., y(n) (x)) = 0 –

общий вид дифференциального уравнения n-го порядка

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными

Общий вид: y′(x) = f (x)g( y) или f1 (x)g1 ( y)dx + f2 (x)g2 ( y)dy = 0

46

Схема решения

y′ = f (x)g( y).

y¢ = dy , dx

dy = f (x)g( y) ×dx, dx

dy = f (x)g( y)dx : g( y),

dy = f (x)dx, g( y)

∫ dy = ∫ f (x)dx, g( y)

G( y) = F (x) + C.

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

y′′ + py′ + qy = 0

Корни характеристического уравнения						Общее решение дифференциального уравнения
			k 2 + pk + q = 0
D>0, k	≠k	2				y = C ek1x + C		ek2 x
1						1	2
D=0, k	=k	2				y = C ek1x + C		xek2 x
1						1	2
			комплексные числа, i=		–	y = eα x (C cos β x + C
D<0, k1,2=α±βi –				-1					2	sin β x)
мнимая единица.							1
				Ряды
Опр. Рядом называется бесконечная сумма членов некоторой											последовательно-
сти, общий член которой является функцией номера n.
						∞
			u1 + u2 + u3 + ... + un + ... = ∑un , un				= f (n), n Î N

n=1

Ряды

числовые функциональные

Числовые ряды

Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un – n- я частичная сумма.

47

lim Sn	S - const. ряд сходится, S - cумма ряда,
	=
n→∞	¥ расходится.

Rn = S − Sn – остаток сходящегося ряда.

Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов

Необходимый признак сходимости (достаточный признак расходимости):

	∞	сходится lim un = 0,
	∑un
	n=1	n→∞
		∞
	lim un
		¹ 0 ∑un расходится
	n→∞	n=1

Признак Даламбера

lim un+1

n→∞ un

l < 1 сходится,
	расходится,
= l l > 1
l = 1	? (вопрос о сходимости ряда не решён)

Алгебраический признак Коши

			l < 1 сходится,
				расходится,
	lim n un
			= l l > 1
	n→∞		l = 1	?

Интегральный признак

Пусть f(x) – непрерывная, положительная и убывающая функция при х≥1. Тогда

+∞				∞
∫ f (x)dx - сходится ( расходится) ряд ∑un , где un = f (n), n Î N ,
1				n=1
тоже сходится ( расходится).
			1-й признак сравнения
			∞	∞
		∑un сходится ∑vn сходится,
un	³ vn	n=1		n=1
			∞	∞
		∑vn		расходится ∑un расходится.
		n=1		n=1

2-й признак сравнения (предельный)

48

Если ряд

u

0

∞

∞

lim

n

¹

ряды ∑un и

∑vn сходятся(расходятся) одновременно.

n→∞ v

n

¥

n =1

n =1

Стандартные числовые ряды

∞

q

< 1 сходится,

∑bqn−1 - геометрическая прогрессия,

³ 1 расходится,

n=1

q

∞

1

∑

- гармонический ряд, расходится,

n=1

n

∞

1

p > 1 сходится,

∑

- обобщённый гармонический ряд,

p

n=1

n

p £ 1 расходится.

Знакочередующиеся числовые ряды

∞

u1 - u2 + u3 - u4 + ... = ∑(-1)n+1 un , un > 0 .

n=1

1.u > u

2

> u

> ...

∞

n+1

Признак Лейбница:

1

3

∑(

-1)

un

сходится

2.lim un =

0

n=1

n→∞

∞

n+1

un

∑(-1)

- сходится

∞

n+1

n=1

un - cходится абсолютно.

∞

∑(-1)

∑un - сходится

n=1

n=1

∞

(

-1)

n+1

un - сходится

∑

∞

n+1

n=1

∑(-1)

un - cходится условно.

∞

∑un -

расходится

n=1

n=1

∞

Теорема: ∑un , составленный из абсолютных величин знакочередующего-

n=1

ся ряда, сходится, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Функциональные ряды

∞

u1 (x) + u2 (x) + u3 (x) + ... + un (x) + ... = ∑un (x), un (x) = f (n; x), n Î N

n=1

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды:

49

∞

a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... = ∑ an xn

n=0

x (−R; R) – область сходимости степенного ряда.

R = lim	an		– радиус сходимости.
	a
n→∞		n +1

Опр. Разложением функции f(x) в ряд по степеням (х-а) (рядом Тейлора) называется ряд вида:

f (x) = f (a) + f ′(a) ( x − a ) +			f ′′(a) ( x − a )2 + ... = ∑
				∞
1!			2!	n=0

Опр. Ряд Тейлора при а=0 называется рядом Маклорена.

Разложение основных элементарных функций

f (n ) (a) ( x − a)n

n!

вряд Маклорена

ex = 1+

x

+

x2

+

x3

+

x4

+ ...,

x (−∞; +∞)

1!

2!

3!

4!

sin x =

x

−

x3

+

x5

−

x7

+ ...,

x (−∞; +∞)

1!

3!

5!

7!

cos x = 1−

x2

+

x4

−

x6

+ ...,

x (−∞; +∞)

2!

4!

6!

ln(1+ x) = x −

x2

+

x3

−

x4

+ ..., x (−1;1]

2

3

4

(1+ x)m = 1+

m

x +

m(m −1)

x2 +

m(m −1)(m − 2)

x3 + ..., x (−1;1)

1!

2!

3!

arc tgx = x −

x3

+

x5

−

x7

+ ...,

x [−1;1]

3

5

7

Примечание: n! = 1× 2 ×3×...× n –

факториал.

50