Линейная алгебра, Мат. анализ, Теория вероятностей и мат. статистика (ТВиМС)

								Теория вероятностей
								Комбинаторика
	Pn = n! –			число перестановок из n элементов, где n!=1·2·3·4·…·n – факториал, 0!=1.
	Cnk =			n!				– число сочетаний из n элементов по к элементов.
			k !(n − k)!
	Ak =		n!			–		число размещений из n элементов по к элементов.
			(n − k)!
	n

Вероятность события

Опр. Вероятность события – это число, характеризующее степень возможности появления события.

Классическое определение вероятности события: P( A) = m , где n – число всех исхо-

n

дов испытания, m – число благоприятствующих событию А исходов. 0≤P(A)≤1

W ( A) = M

N – относительная частота события , W(A)≈P(A).

Теоремы сложения и умножения вероятностей

P( A) + P(B), если A и B несовместны;

P( A + B) = + −

P( A) P(B) P( AB), если A и B совместны.

P( A)P(B), если A и B независимы;

P( AB) =

P( A)PA (B), если A и B зависимы.

Следствия:

1.P( A1 + A2 + ... + An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( An ) , если события попарно несовместны.

2.P( A1 + A2 + ... + An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( An ) = 1, если события образуют полную группу.

3.P( A) = 1− P( A) .

4.P( A1 A2 ...An ) = P( A1 )P( A2 )...P( An ) , если события независимы.

5.P( A1 A2 ...An ) = P( A1 )PA1 ( A2 )PA1 A2 ( A3 )...PA1 ... An−1 ( An ) , если события зависимы.

Формула полной вероятности. Формула Байеса

		P( A) = P(H1 )PH				( A) + P(H2 )PH	( A) + ...P(Hn )PH	( A)
				1			2	n
H1 , H2 ,..., Hn – гипотезы, P(H1 ) + P(H2 ) + ... + P(Hn ) = 1.
Формула Байеса:		(Hi ) =	P(Hi )PHi	(A)		i = 1..n
	PA				,
			P(A)
						51

Независимые повторные испытания

	Название	Формула	Условия
	формулы		применения

Формула

P (k ) = C k pk qn−k

n

мало

Бернулли

n

n

1

k − np

Pn (k) ≈

φ

,

npq

npq

Локальная

где ϕ (x) =

1

−

x2

формула

e 2 .

n –

велико

2π

Лапласа

Свойства φ(х): 1. φ(-x)=φ(x);

2. значения функции занесены в таблицу, причём

если х>3,99, то φ(х)≈0.

λ k e−λ

n –

велико

Формула

P (k) ≈

, где λ=np

(n≥100),

Пуассона

k !

p

– мало

n

(p≤0,1)

k

2

− np

k − np

Pn (k1 ≤ k ≤ k2 ) ≈

Ф

− Ф

1

npq

npq

где Ф(x) =

1

x

−

t2

Интегральная

e 2 dt – функция Лапласа.

n –

велико,

2π

формула

∫0

k [k1 , k2 ]

Лапласа

Свойства Ф(х) : 1. -0,5< Ф(х) <0,5;

2. Ф(-х)=-Ф(х);

3. значения функции занесены в таблицу,

причём если х>5, то Ф(х)≈0,5.

Наиболее вероятное число наступлений события при повторных

испытаниях:

np − q ≤ k0 ≤ np + p

Случайные величины

Дискретная случайная величина

Опр. Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется величина, возможные значения которой изолированы друг от друга, и их можно занумеровать.

Закон распределения ДСВ задаётся в виде таблицы:

		X	x1	x2		…		x	n
		P	p1	p2		…		p	n
x1, x2, …, x n –	возможные значения величины,						p1, p2, …, p n – их вероятности, причём
p1 + p2 + ... + pn	= 1
				52

Числовые характеристики дискретной случайной величины

n	= x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn
1) Математическое ожидание: M ( X ) = ∑ xi pi
i =1

Вероятностный смысл: математическое ожидание величины приближённо равно её среднему значению.

M (C) = C,

=

Свойства М(Х): M (CX ) CM ( X ),

M ( X ± Y ) = M ( X ) ± M (Y ),

M ( XY ) = M ( X )M (Y ).

2) Дисперсия – число, характеризующее степень разброса значений величины вокруг её среднего значения.

n		( x1 - M ( X ))2 p1 + ... + ( xn - M ( X ))2 pn
D( X ) = ∑( xi - M ( X ))2 pi =
i=1
		или
D( X ) = M ( X 2 )	n	2 pi - M 2 ( X ) = x12 p1 + ... + xn	2 pn - M 2 ( X )
	- M 2 ( X ) = ∑ xi
	i=1
D( X ) ³ 0,
D(C) = 0,
Свойства D(X):
D(CX ) = C2 D( X ),
	= D( X ) + D(Y ).
D( X ± Y )

3)Среднее квадратическое отклонение: σ ( X ) = D( X )

4)Мода (Мо) – наиболее вероятное значение.

5)Медиана (Ме) – значение, делящее распределение на две равные части.

Виды распределения ДСВ

Вид			Случайная величина Х		Формула pk		Числовые характеристики
-	альное	Х –	число наступлений события А в
Биноми		n	повторных независимых испыта-		Pn (k ) = Cnk pk qn−k		M ( X ) = np, D( X ) = npq
		ниях.
Пуассона		Х –	число наступлений события А в			k !
		мало (p≤0,1).
		n повторных независимых испыта-		Pn (k ) »		λ k e−λ	M ( X ) = D( X ) = λ = np
		ниях, причём n - велико (n≥100), p –				, где λ = np
-						P = qk −1 p
Геометри	ческое			то Pn	= qn−1 p + qn
		Х –	число испытаний, проведённых			k
				Если число испытаний ограничено,			По общим формулам
		до первого появления события А.

53

Непрерывная случайная величина

Опр. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется величина, возможные значения которой непрерывно заполняют собой некоторый конечный или бесконечный интервал.

F(x) = P(X < x) –	функция распределения вероятностей случайной величины.
	0 £ F (x) £ 1,
	x < x F (x ) £ F (x ),
	1	2		1	2
Свойства F(x):	P	{x £ X £ x		} = F (x ) - F (x ),
		1	2		2	1
			= 1,
	F (+¥)
			= 0.
	F (-¥)

f (x) = F ′(x) – плотность распределения вероятностей НСВ.

f (x) ³ 0,

+∞

∫	f (x)dx = 1,
−∞			x2
Свойства f(x):
P{x1 £ X £ x2 } = ∫ f (x)dx,
			x1
		x
	(x) =	∫	f (x)dx.
F
		−∞
Числовые характеристики непрерывной случайной величины
			b
1) Математическое ожидание: M ( X ) = ∫ xf (x)dx
			a
2) Дисперсия:
		b	b
D( X ) = ∫			( x - M ( X ))2 f (x)dx или D( X ) = ∫ x2 f (x)dx - M 2 ( X )
		a	a

3) Среднее квадратическое отклонение: σ ( X ) = D( X )

54

Виды распределения НСВ

Плотность

распределения

ения

Числовые Функция распредел характеристики

Вероятность попадания в интервал

Равномерное

Нормальное

Показательное

1

−

( x−a)2

f (x) =

0, x < 0

2

2

f (x) =

e

σ

0, x < a

σ

λe−λ x , x ³ 0

2π

1

f (x) =

, a £ x £ b

b

- a

0, x > b

0, x < a

- a

x − a

0, x < 0

x

F (x) =

, a £ x £ b

F (x) = 0,5 − Ф

F (x) =

b

- a

σ

1- e−λ x , x ³ 0

1, x > b

M ( X ) =

a + b

M ( X ) =

1

λ

2

M ( X ) = a, D( X ) = σ 2 ,

(b - a)2

D( X ) =

1

D( X ) =

σ ( X ) = σ

λ 2

12

σ ( X ) =

1

σ ( X ) =

D( X )

λ

P (α < X < β ) =

β

- a

α - a

= Ф

σ

-Ф

,

σ

P (α < X < β ) =

β − α

P (

δ

P (α < X < β ) = e−αλ - e− βλ

b − a

X - a

< δ ) = 2Ф

σ

(

Правило трёх сигм:

)

)

(

P

X −a

<3σ

= P

a−3σ < X < a+3σ

≈1

55

Закон больших чисел

Неравенство Чебышева: P (

X - M ( X )

£ ε ) ³ 1-

D( X )

ε 2

X

1

+ X

2

+ ... + X

n

M ( X

) + M ( X

2

) + ...M ( X

n

)

C

Теорема Чебышева: P

-

1

£ ε

³ 1-

,

nε

2

n

n

где D( X i ) £ C, i = 1...n.

m

Теорема Бернулли: lim P

- p

< ε = 1

n→∞

n

Элементы математической статистики

Выборочная средняя: x = 1 ∑k xi mi

n i =1

k

k

2

Дисперсия: D =

1

∑(xi −

x

)2

mi

или D =

1

∑ xi

2 mi − (

x

)

n i =1

n i =1

Среднее квадратическое отклонение: σ = D

Коэффициент вариации: V = σ ×100 %

x

	Мода: М0 = хм	+ h		m2 − m1		.
			(m2	- m1 ) + (m2	- m3 )
	0

хМ0 – начало модального интервала (интервала с наибольшей частотой);

h – длина частичных интервалов;

m1 – частота домодального интервала; m2 – частота модального интервала; m3 – частота замодального интервала.

				n	- mH
Медиана: Ме = хм			+ h ×	2		.
		е			mMe
xMe	–	начало медианного интервала;
h –	длина частичных интервалов;
n –	объём выборки;
mН	–	накопленная частота домедианного интервала;

mМе – частота медианного интервала.

56

57

58

59