- •Тема: Эмпирико-статистические модели климатических изменений
- •Лекция 9. Общая схема. Методы идентификации климатических изменений
- •Методология стационарной модели
- •Методология динамической модели
- •Случайные события
- •Общая схема построения модели - Методология
- •Алгоритм
- •Вид модели временного ряда
- •Предварительные (простые) методы выявления неоднородности
- •Статистические методы
- •Методы оценки стационарности параметров временных рядов
- •Методы аппроксимации временных рядов
- •Методы аппроксимации временных рядов (продолжение)
- •Методы выбора эффективной модели временного ряда
- •1. Стационарный временной ряд
- •Расчет тренда в Excel
- •Проверка коэффициента корреляции на значимость (относительно
- •3. Модель ступенчатых изменений
- •4. Гармоническая модель
- •Среднегодовая температура, С.-Петербург
- •Относительные погрешности по отношению к стационарной модели
- •Последовательность выполнения работы
- •Результаты лабораторной работы должны быть представлены в файле Word, включающем:
- •Пример. Санкт-Петербург, среднегодовая температура воздуха
- •2) Многолетний график ряда наблюдений (1835-2009 гг.)
- •3) Многолетний график и его аппроксимация моделью линейного тренда.
- •4) Многолетний график и его аппроксимация моделью ступенчатых изменений.
- •5) График автокорреляционной функции
- •6) Многолетний график и его аппроксимация гармонической моделью.
- •7) Таблицы с параметрами моделей линейного тренда, ступенчатых изменений и гармонических колебаний включающие:
- •8).Таблица выбора эффективной модели и ее значимости по отношению к
- •ПРИМЕР 2
- •Оценка эффективности ступенчатой модели (январь)
- •Оценка эффективности аппроксимации временного ряда среднемесячных температур февраля разными моделями (стационарная, тренд, ступенчатая)
Методы оценки стационарности параметров временных рядов
Критерий Фишера для дисперсий: |
F=σ2j / σ2j+1 |
при σ2j >σ2j+1. где σ2j. σ2j+1 – соответственно дисперсии двух следующих друг за другом подвыборок (j и j+1) объемом n1 и n2
n1F |
|
|
|
n1 g |
|
|
|
|
n2 F |
|
|
|
n2 g |
|
|
|
|
||
|
2r |
2 |
[1 |
1 |
r |
2 n |
] |
|
2r |
2 |
[1 |
1 |
r |
2n |
|
] |
|||
1 |
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 r 2 |
|
n (1 r 2 ) |
|
|
|
|
1 r 2 |
|
n (1 r 2 ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
где: g – коэффициент, учитывающий влияние асимметрии исходной совокупности и определяемый по табл.
r – коэффициент автокорреляции между смежными членами ряда.
Критерий Стьюдента для средних:
t |
YcpI YcpII |
|
|
|
n1n2 (n1 n2 2) |
||
|
|
|
|
|
|
n1 n2 |
|
|
n 2 |
n |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
1 I |
2 II |
|
|
|
где: YcpI. YcpII. σ2I. σ2II – средние значения и дисперсии двух последовательных
выборок. n1 и n2 - объемы выборок.
t'б=Ct · tб
где: t'б – критическое значение статистики Стьюдента при наличии автокорреляции,
tб – критическое значение статистики Стьюдента для случайной совокупности при том же числе степеней свободы k= n1+ n2-2;
Ct – переходный коэффициент, определяемый в зависимости от коэффициента автокорреляции
Методы аппроксимации временных рядов |
|
|
T |
|
|
A |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид |
|
Период |
|
Амплитуда |
Адекватный |
||||||
функции |
Наличие |
Свойства |
Наличие |
|
Свойства |
метод |
|||||
циклов |
|
|
|||||||||
информации |
|
информации |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
гармоническ |
известен |
постоянный |
известна |
|
постоянна |
среднее |
|||||
ая |
|
|
|
|
непостоянна |
регрессия |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
неизвестна |
|
случайна |
- |
|||||
|
|
|
|
|
неслучайна |
спектр. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
анализ |
|
|
непостоянный |
известна |
|
постоянна |
регрессия |
|||||
|
|
|
|
|
непостоянна |
регрессия |
|||||
|
|
|
неизвестна |
|
случайна |
- |
|||||
|
|
|
|
|
неслучайна |
- |
|||||
|
неизвестен |
случайный |
известна |
|
постоянна |
- |
|||||
|
|
|
|
|
непостоянна |
- |
|||||
|
|
|
неизвестна |
|
случайна |
- |
|||||
|
|
|
|
|
неслучайна |
- |
|||||
|
|
неслучайный |
известна |
|
постоянна |
спектр. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
анализ |
|
|
|
|
|
непостоянна |
Регрессия |
|||||
|
|
|
неизвестна |
|
случайна |
- |
|||||
|
|
|
|
|
неслучайна |
Регрессия |
Методы аппроксимации временных рядов (продолжение)
Вид |
|
Период |
Амплитуда |
|
Адекватный |
функции |
Наличие |
Свойства |
Наличие |
Свойства |
метод |
циклов |
|
||||
информации |
|
информации |
|
|
|
|
|
|
|
||
неизвестен |
известен |
постоянный |
известна |
постоянна |
среднее |
|
|
|
непостоянна |
- |
|
|
неизвестна |
случайна |
- |
|
|
|
неслучайна |
- |
|
непостоянный |
известна |
постоянна |
- |
|
|
|
непостоянна |
- |
|
|
неизвестна |
случайна |
- |
|
|
|
неслучайна |
- |
неизвестен |
случайный |
известна |
постоянна |
- |
|
|
|
непостоянна |
- |
|
|
неизвестна |
случайна |
- |
|
|
|
неслучайна |
- |
|
неслучайный |
известна |
постоянна |
- |
|
|
|
непостоянна |
- |
|
|
неизвестна |
случайна |
- |
|
|
|
неслучайна |
- |
Методы выбора эффективной модели временного ряда
Основные модели временного ряда
-стационарный временной ряд,
-монотонные изменения в виде линейного тренда,
-ступенчатые переходы от одного стационарного состояния к другому,
-гармоническая модель.
Равновесная система |
Неравновесная система |
|
|
внешние факторы |
t |
|
t |
|
|
|
|
|
внутреннее состояние системы |
|
Формирование
озоносферы
Возникновение аэробной жизни
Эффект Юри
Изменение прямой радиации (1) и температуры воздуха (2).
1. Стационарный временной ряд
Sr (t) =const, σ(t)=const
y
|
Y(t) = b1t +b0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Модель линейного тренда |
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(Yi Yср )(ti tср ) |
|
|||||
|
b |
i 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(ti tср )2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|||
|
b0 = Ycp - b1tcp |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
(Yi Yср )(ti tср ) |
|
||||
|
R |
|
|
|
i 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
(Yi Yср )2 (ti tср )2 |
|
||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 R2 |
|
Расчет тренда в Excel
Проверка коэффициента корреляции на значимость (относительно
нуля)
Число степеней свободы (n-2) |
|
Уровень значимости |
|
5% |
1% |
||
|
|||
10 |
0.576 |
0.708 |
|
11 |
0.553 |
0.684 |
|
12 |
0.532 |
0.661 |
|
13 |
0.514 |
0.641 |
|
14 |
0.497 |
0.623 |
|
15 |
0.482 |
0.606 |
|
16 |
0.468 |
0.590 |
|
17 |
0.456 |
0.575 |
|
18 |
0.444 |
0.561 |
|
19 |
0.433 |
0.549 |
|
20 |
0.423 |
0.537 |
|
21 |
0.413 |
.526 |
|
30 |
0.349 |
0.449 |
|
35 |
0.325 |
0.418 |
|
40 |
0.304 |
0.393 |
|
50 |
0.273 |
0.354 |
|
60 |
0.250 |
0.325 |
|
70 |
0.232 |
0.302 |
|
80 |
0.217 |
0.283 |
|
90 |
0.205 |
0.267 |
|
100 |
0.195 |
0.254 |
3. Модель ступенчатых изменений
мм, январь
t1 |
t2 |
Алгоритм |
σ12*(n1-1)+σ22*(n2-1)= SS → min |
|
|
n1 |
n |
|
SS (Yi Y1ср )2 |
(Yi Y2ср )2 |
|
1 |
n1 1 |
Sr1(t1 ) = const1,
σ1(t1)=const1,
Sr2(t2 ) = const2, σ2(t2)=const2.
ступ |
1 2 n1 |
2 |
2 n2 |
|
||
|
n1 |
n2 |
1 |
|
||
|
|
|
1 шаг: n1=n2,
2-ой и другие: n1*= n1 - i (i=1, n/2-2) и затем n1*= n1 + i (i=1, n/2-2)
4. Гармоническая модель
Y |
B sin( |
ti |
|
|
) B |
2 |
sin( |
ti |
|
) ... B |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
i |
|
1 |
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
для j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Xi=sin(ti/T1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
B |
1 |
= (∑ (Y |
- Y |
cp |
|
)(X |
|
- X ))/(∑(X |
- X |
cp |
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
cp |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
B = Y |
|
- B |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
cp |
cp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 R2 |
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Статистическая значимость коэффициента B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
B1 / B1 Bкр |
|
|
|
|
B1 - стандартная случайная погрешность коэффициента B1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 -2 B1 ≤ B1 ≤ B1+2 B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Yi Yср )(X i X ср ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
B1 |
Y |
|
|
1 |
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Yi Yср )2 (X i X ср )2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
||||||
для j=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
B |
|
Y |
|
|
|
|
( |
RYX 1 RYX 2 RX 1X 2 |
|
) |
|
|
B2 |
Y |
( |
RYX 2 RYX 1RX 1X 2 |
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
X 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 RX2 1X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 RX 1X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
X 1 |
|
|
|
|
|
(n |
|
2)(1 r |
|
|
r |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X 1X 2 |
X 1X 2 |
|
|
|
|
X 2 |
|
|
(n |
2)(1 |
rX 1X 2 rX 1X 2 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
(Yi Yср1 )(Yi 1 Yср2 ) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
r(1) |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(Yi Yсрi )(Yi Yср ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
2 |
n |
|
2 |
|
|
||||||
rτ =f(τ) |
ri,i |
|
|
i 1 |
|
|
При τ=1 |
|
|
(Yi Yср1 ) |
|
(Yi 1 Yср2 ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
i 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
(Yi Yсрi )2 |
(Yi Yср )2 |
|
Yср1 |
|
|
n |
Yi |
|
n 1 |
Yi |
||||||
|
|
|
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
|
Yср2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
i 2 (n 1) |
|
i 1 (n 1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N=250
Автокорреляционная функция
многолетнего ряда среднемесячных температур воздуха января для Санкт-Петербурга.