Геометрическая вероятность

Понятие геометрической вероятности

Приписывание событию некоторого числа (его вероятности) является аналогом измерения.

В тех случаях, когда поле исходов события бесконечно, естественно связать определение вероятности с геометрией. Например, при случайном выборе точки в круге, разделенном на несколько колец, вероятностью попадания в заданное кольцо естественно считать долю, которую занимает площадь выбранного кольца по отношению к площади всего круга.

Примеры вычисления геометрической вероятности

1.В квадратном трехчлене коэффициент а по модулю не больше 10. Он

выбирается наудачу. Какова вероятность того, что трехчлен будет иметь вещественные корни?
Дискриминант d этого трехчлена равен –	– . Условие вещественности корней:

. На отрезке [–10;10], длина которого равна 20, «благоприятные» значения а занимают отрезок [–10;9], длина которого 19. Интересующему нас событию следует приписать вероятность

2.В круге произвольно выбирается точка. Какова вероятность того, что ее расстояние до

центра круга больше половины радиуса?
Построим две концентрические окружности радиуса R и				. Площадь маленького круга равна
площади большого, а площадь кольца между ними –				площади большого. Вероятность
попадания точки в кольцо следует принять равной		.

Заметим, что мы игнорируем границы наших областей. Если вероятность мы измеряем площадью, то вероятность попадания точки на границу области равна нулю, так как площадь

границы должна быть нулевой.

Построение вероятностной модели.

Часто в приложениях для определения вероятности события приходится строить

геометрическую модель и изображать событие точками геометрической фигуры.

3. Палку ломают случайным образом в двух точках. Какова вероятность того, что из трех

получившихся кусков можно составить треугольник?

Построение модели. Пусть длина палки равна 1. Можно сказать, что на единичном отрезке выбирают две точки x и y. Случайное событие выбора пары точек можно изобразить точкой в единичном квадрате на плоскости xOy. Условие того, что из получившихся отрезков можно сложить треугольник, можно записать в виде серии неравенств

(будем сразу считать, что x и y обозначены так, что x<y).

Эти условия таковы: 1) x + y – x > 1 – y

2)x + 1 – y > y – x

3)y – x + 1 – y > x

Построим область в единичном квадрате, для точек которой выполняются все написанные условия. Мы получим треугольник, площадь которого, как нетрудно проверить, равна . Искомая

вероятность равна отношению .

4. Задача Бюффона. Плоскость расчерчена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно 2. На плоскость случайным образом бросается тонкая игла длины 1.

Какова вероятность того, что она пересечет какую-либо линию? Опишем случайное событие (бросание иглы) следующими двумя параметрами – положением середины иглы и

углом,	который	игла	образует	с
направлением,		перпендикулярным

проведенным прямым. Возьмем центр иглы за начало координат О, направим ось Ox

перпендикулярно прямым. Из-за симметрии можно считать, что ближайшая к началу прямая расположена справа от начала. Обозначим переменное (случайное) расстояние от точки О до

этой прямой через x:

.

Пусть

– угол,

образованный иглой с положительным

направлением оси Ox (считаем, что

). Условие того, что игла пересекает прямую,

можно записать в виде неравенства

. Теперь на плоскости с координатами

изобразим рассматриваемые

пары

параметров

. Все возможные пары занимают

прямоугольник

площади . «Благоприятные» пары занимают его часть

под графиком функции

. Площадь

этой части легко находится интегрированием:

	2
S	cos	d	sin
	2

2

2

2

. Отношение площадей

и дает искомую вероятность.

Этот результат пытались многократно проверить экспериментально, бросая иглу и сравнивая частоту, с которой игла пересекает линии, с известным значением числа .

5.В круге радиуса 1 случайным образом выбирают хорду. Какова вероятность, что ее длина l 1?

Возможны различные модели для реализации этого случайного события.

а)		б)	в)
	O	l	l
			O

а) Фиксируем направление, в котором проводится хорда (в силу симметрии все направления равноправны), проводим радиус, перпендикулярный этому направлению (он пересекает хорду в ее центре), выбираем на радиусе точке – середину хорды. Все точки занимают отрезок длины 1 (радиус круга), «благоприятные» точки – это те, которые отстоят от центра на расстояние,

меньшее, чем сторона правильного вписанного шестиугольника, т.е. меньше, чем на √ . Искомая

вероятность равна	√		.

б) Фиксируем один конец хорды и выбираем произвольно второй. Все точки занимают всю окружность, а «благоприятные» точки – две трети этой окружности. Искомая вероятность

получилась равной .

с) Фиксируем направление, в котором проводится хорда. Проведем в этом направлении диаметр и хорду длины 1. Хорда разбила полукруг на две части. Хорды длины, большей единицы, занимают заштрихованную (нижнюю) часть полукруга. Отношение р площади этой

части к площади полукруга легко подсчитать:			√		.

Мы получили парадоксальную ситуацию. Ее так и называют – парадокс Бертрана (вычисляя вероятность, казалось бы, одного и того же случайного события разными способами, мы получили разные ответы). Этот парадокс показывает, насколько точно должно быть описано случайное событие и с какой осторожностью надо измерять ее вероятность.

В приведенном нами примере разные построения хорды описывают разные события.

Неудивительно, что они имеют разную вероятность.